(4) 解方程组，取其中的一个解，即得法向量.
例2.用向量方法证明
定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 已知：直线l与m相交, l??,m??,l∥?,m∥?求证：?∥?
证明 取l,m的方向向量a,b；取?,?的法向量u,v.
l∥?,m∥? ?a?v,b?v
又a,b不共线,所以v是?的一个法向量 于是v同时是?、?的一个法向量
? ?∥?
【设计意图】：突出直线的方向向量和法向量的作用，用向量证明有关结论的重要工具. 例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点， 求证：PA//平面EDB.
解：法一： 如图所示建立空间直角坐标系，
z 点D为坐标原点，设DC=1连结AC,AC交BD于点G,连结EG P 11A(1,0,0),P(0,0,1),E(0,,)
2211PA?(1,0,?1),EG?(,0,?)
22
ED C y 所以PA?2EG，即PA//EG
A 而EG?平面EDB,且PA?平面EDBB
x B 所以，PA//平面EDB
法二 ：建系同上
11PA?(1,0,?1),DE?(0,,)DB=(1,1，0)
22设平面EDB的法向量为n?(x,y,1)
1?1y??0??n??1, ?1, 1??PA?n?0?PA?n而PA?平面EDB则n?DE, n?DB于是?22??x?y?0
所以，PA//平面EDB
法三：建系同上
5
设PA?xDE?yDB解得 x＝－２,ｙ＝１
即PA??2DE?DB于是PA、 DE、 DB共面而PA?平面EDB所以，PA//平面EDB
【设计意图】：利用空间向量解决立体几何中的平行问题
(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量，但要注意说明这两条直线不共线．
(2)证明线面平行的方法
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，但要说明直线不在平面内． ②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量 共线，也要说明直线不在平面内．
③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．同时要注意强调直线不在平面内．
例4如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2. (1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由
解：（1）
CD?DE，A1E?DE
?DE?平面A1CD，
又
AC?平面A1CD， 1?DE ?AC1又A1C?CD， ?平面BCDE。 ?AC1（2）如图建系C?xyz，则D??2，0，0?，A0，0，23，B?0，3，0?，E??2，2，0?
∴A1B?0，3，?23,A1E???2，?1，0? 设平面A1BE法向量为n??x，y，z?
????zA1 (0,0,23)ME (-2,2,0)yB (0,3,0) D (-2,0,0)C (0,0,0)x6
?3z?y????3y?23z?0??A1B?n?02 则? ∴? ∴?????2x?y?0?x??y?A1E?n?0??2∴n??1，2，3 又∵M?1，0，3 ∴CM??1，0，3 ∴cos??CM?n1?342???
2|CM|?|n|1?4?3?1?32?22，
??????∴CM与平面A1BE所成角的大小45?。
（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为?0，a，0?，则a??0，3?
则A1P?0，a，?23，DP??2，a，0? 设平面A1DP法向量为n1??x1，y1，z1??3z?ay???ay1?23z1?0?161则? ∴? ??x??1ay?2x1?ay1?011??2??
，
∴n1??3a，6，3a??。
假设平面A1DP与平面A1BE垂直，
则n1?n?0，∴3a?12?3a?0，6a??12，a??2，
∵0?a?3，∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直。
【设计意图】：运用向量数量积判断向量的共线与垂直，用向量证明线线、线面、面面的垂直，尤其是用向量法来解决垂直问题相比一作二证三算法要方便了许多．
六、【课堂小结】
用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．
七、【布置作业】
必做题：1. 设 a,b分别是直线l1,l2的方向向量，根据下列条件，判断l1,l2的位置关系.
(1) a?(2,?1,?2),b?(6,?3,?6);(2) a?(1,2,?2),b?(?2,3,2);(3) a?(0,0,1),b?(0,0,?3).
7
2.设 u,v分别是平面?,?的法向量，根据下列条件，判断?,?的位置关系.
(1) u?(?2,2,5),v?(6,?4,4);(2) u?(1,2,?2),v?(?2,?4,4); (3) u?(2,?3,5),v?(?3,1,?4).3.设平面?的法向量为(1,2,-2，平面?的法向量为(?2,?4,k)，若?∥?，则k?____； ）若?⊥?，则k?_______.
4.已知 l∥? ，且l的方向向量为(2,m,1)，平面?的法向量为(1,,2),则m=___. 5.若l的方向向量为(2,1,m)，平面?的法向量为(1,,2)，且l⊥?，则m?_______. 选做题：
用向量法证明：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
1212八、【教后反思】
1.本教案的亮点是：①知识结构清晰，直观简明；②知识梳理强化了学生对于利用空间向量表示平行或垂直时，直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，便于学生的理解记忆；③例题选择有代表性，紧扣课本，链接高考，知识的重点、难点体现较好，通过讲练结合，大大提高学生的学习效率；④对解题方法的总结比较好，便于学生系统的运用所学知识解决具体问题．
2.本教案的弱项是：内容多，个别学生接受起来吃力．
九、板书设计
3.2 立体几何中的向量方法 平行关系： 垂直关系： 夹角： 例1： 例2： 例3： 例4：
8