由题意知k2＞0，所以0＜λ＜1.实数λ的取值范围是为(0，1).

4k2k＋1AQyQ1

法二 由法一知λ＝－1＝－1＝－1＝1－2，

APyP4kk＋1

22k＋1

2

由题意知k＞0，所以0＜λ＜1.实数λ的取值范围为(0，1).

x22

11.(2018·苏州自主学习)如图，已知椭圆O：＋y＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆

4

O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.

(1)当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；

→→

(2)①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；②求PB·PM的取值范围. 解 (1)由题意B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(3，0)，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则

xy

直线PM的方程为＋＝1，

3－1x2283＋y＝1，x＝，?x＝0，47?3

即y＝x－1，联立解得或?

3?y＝－1（舍）31?

y＝x－1，y＝

37

831?即M?.

?7，7?xy

连接BF，则直线BF：＋＝1，即x＋3y－3＝0，

31

?83＋3×1－3?23

7?7?73

而BF＝a＝2，点M到直线BF的距离为d＝＝＝. 2712＋（3）2

?

?????

1133

故S△FBM＝·BF·d＝×2×＝.

2277

(2)①设P(m，－2)，且m≠0，则直线PM的斜率为k＝

－1－（－2）1

＝－，

m0－m

1

y＝－x－1，

m418

1＋2?x2＋x＝0， 则直线PM的方程为y＝－x－1，联立2化简得??m?mmx2

＋y＝14

???

4－m2

－122

m＋44－m8m－2m21??解得M?－2，2?，所以k1＝＝＝m，

8m－8m4?m＋4m＋4?

－2m＋4

1－（－2）3k2＝＝－，

m0－m

313

所以k1·k2＝－·m＝－为定值.

m44→

②由①知，PB＝(－m，3)，

4－m2??－m3－12mm2＋12?8m→?，2PM＝?－2－m，2＋2?＝?， m＋4??m2＋4m＋4??m＋4?

－m3－12mm2＋12?m4＋15m2＋36→→?所以PB·PM＝(－m，3)·， ?m2＋4，m2＋4?＝

m2＋4??

22

8→→（t－4）＋15（t－4）＋36t＋7t－82

令m＋4＝t＞4，故PB·PM＝＝＝t－＋7，

ttt

888→→

因为y＝t－＋7在t∈(4，＋∞)上单调递增，所以PB·PM＝t－＋7＞4－＋7＝9，

tt4

→→即PB·PM的取值范围为(9，＋∞).

x2y2

12.(2018·苏北四市调考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的

ab

31

1，?.F为椭圆的右焦点，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，离心率为，且过点??2?2

连接AF，BF并延长分别交椭圆于点C，D.

(1)求椭圆的标准方程；

BF

(2)若AF＝FC，求的值；

FD

(3)设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，是否存在实数m，使得k2＝mk1？若存在，求出

m的值；若不存在，请说明理由.

c1＝，a2

?a＝2，x2y2

9解 (1)由题意知1解得?所以椭圆方程为＋＝1.

432＋2＝1，b＝3，?a4b

?

????a＝b＋c，

2

2

2

3

1，?， (2)若AF＝FC，由椭圆对称性，知AC垂直于x轴，则A??2?3

－1，－?，此时直线BF的方程为3x－4y－3＝0， 所以B?2??

3x－4y－3＝0，??2213由?xy得7x2－6x－13＝0，解得x＝(x＝－1舍去)，

7＋＝1，??43故

BF1－（－1）7

＝＝. FD133

－17

2

x2y00y0(3)设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，＋＝1.直线AF的方程为y＝(x－1)，

43x0－1

x2y22

代入椭圆方程＋＝1，得(15－6x0)x2＋(6x20－24)x－15x0＋24x0＝0. 43

因为x＝x0是该方程的一个解，

8－5x0y0所以点C的横坐标xC＝.又C(xC，yC)在直线y＝(x－1)上，

5－2x0x0－1－3y0y0?8＋5x0，3y0?.

所以yC＝(xC－1)＝.同理，点D坐标为??x0－15－2x0?5＋2x05＋2x0?

－3y03y0－

5＋2x05－2x05y0555

所以k2＝＝＝k1，即存在m＝，使得k2＝k1.

338＋5x08－5x03x03

－

5＋2x05－2x0