bbb
解析 双曲线的渐近线为y＝x，y＝－x，依题意有－＞－1，即b＜a，
aaaa2＋b2cc2e＝＝＝＜2.又因为是双曲线，所以e的取值范围是(1，2). aa2a2答案 (1，2)
x2y2
3.已知椭圆＋2＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B
4b
两点，若BF2＋AF2的最大值为5，则b的值是________.
解析 由椭圆的方程，可知长半轴长a＝2；由椭圆的定义，可知AF2＋BF2＋AB＝4a＝8，
所以AB＝8－(AF2＋BF2)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中通径最短，即22b
＝3， a
可求得b2＝3，即b＝3.
答案 3
x22
4.在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆＋y＝1有两个不
2
同的交点，则k的取值范围为________. 解析 由已知可得直线l的方程为y＝kx＋2，
12?2
与椭圆的方程联立，整理得??2＋k?x＋22kx＋1＝0， 因为直线l与椭圆有两个不同的交点，
12?22＋k＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞， 所以Δ＝8k2－4??2?22
22即k的取值范围为?－∞，－?∪?，＋∞?.
2??2??
22
答案 ?－∞，－?∪?，＋∞?
2??2??
x2y2
5.已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆x2－4x＋y2＋2＝0有交点，则双曲线的
ab
离心率的最大值是______.
b
解析 双曲线的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆x2－4x＋y2＋2＝0可化为(x－2)2
a
2
＋y＝2，
其圆心为(2，0)，半径为2.因为直线bx±ay＝0和圆(x－2)2＋y2＝2有交点，
|2b|22222222
所以22≤2，整理得b≤a，从而c－a≤a，即c≤2a，所以e≤2. a＋b答案 2
x2y2x2y2
6.(2018·无锡期末)已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)与椭圆＋＝1的焦点重合，离
ab1612
PF21心率互为倒数，设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则PF2
的最小值为________.
2解析 设椭圆的长半轴长为a1，短半轴长为b1，半焦距为c，则c＝a21－b1＝16－12＝2，
c1c1
故椭圆的离心率e1＝＝，从而双曲线的离心率e＝＝＝2，可得a＝1，
a12ae1
根据双曲线的定义有PF1－PF2＝2a，即PF1＝PF2＋2，
2
（PF2＋2）2PF2PF142＋4PF2＋4
故＝＝＝PF2＋＋4，由双曲线的范围可得PF2≥cPF2PF2PF2PF2
－a＝1，
444
根据基本不等式可得PF2＋＋4≥2PF2×＋4＝8，当且仅当PF2＝，
PF2PF2PF2PF21即PF2＝2时取“＝”，所以的最小值为8.
PF2
答案 8
x2y2
7.(2018·苏中四校联考)在平面直角坐标系xOy中，设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的焦距为
ab
a＋b
2c(c>0).当a，b任意变化时，的最大值是________.
c
π0，?，解析 双曲线中a，b，c的关系是a2＋b2＝c2，则可设a＝ccos θ，b＝csin θ，θ∈??2?
a＋bπ
θ＋?≤2， 则＝cos θ＋sin θ＝2sin??4?c
a＋b2π
当且仅当a＝b＝c，θ＝时取等号，故的最大值为2. 24c
答案 2
22y8.(2017·扬州中学测试)过双曲线C：x－＝1的右焦点F作直线l与该双曲线的右支交于3
点A，若l与双曲线在左支存在另一个交点，则线段AF长度的取值范围为________. 解析 结合双曲线图象易知，当直线l的斜率的绝对值小于双曲线渐近线的斜率的绝对值
时，
与双曲线在左支存在另一个交点.当l与x轴重合时，线段AF长度达到最小值1， 当l的斜率的绝对值逐渐增大时，AF也逐渐增大.
由题可知过点F，与其中一条渐近线平行的直线方程为y＝3(x－2)，
3533?与双曲线方程联立，解得A?，－，则AF＝.
24??4
33
当l与一条渐近线趋近平行时，线段AF长度趋近(达不到)，所以1≤AF＜. 22
31，? 答案 ??2?
二、解答题
x22
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：2＋y＝1(a＞1)．
a
(1)若椭圆C的焦距为2，求a的值；
(2)求直线y＝kx＋1被椭圆C截得的线段长(用a，k表示)；
(3)若以A(0,1)为圆心的圆与椭圆C总有4个公共点，求椭圆C的离心率e的取值范围．
x22
解 (1)由椭圆C：2＋y＝1(a＞1)知，焦距为2a2－1＝2，解得a＝±2， 因为a＞1，
a
所以a＝2.
(2)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长为AP，
y＝kx＋1，??2由?x得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0， 2
??a2＋y＝1，
2a2k
解得x1＝0，x2＝－. 1＋a2k22a2|k|22因此AP＝1＋k|x1－x2|＝22·1＋k. 1＋ak(3)因为圆与椭圆的公共点有4个，
由对称性可设y轴左侧的椭圆上有2个不同的公共点为P，Q，满足AP＝AQ. 记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2， 且k1，k2＞0，k1≠k2.
22a2|k1|1＋k22a2|k2|1＋k21
由(2)知，AP＝，AQ＝，
1＋a2k21＋a2k212
2a2|k1|1＋k22a2|k2|1＋k212
则＝， 22221＋ak11＋ak2
2222222
所以(k21－k2)[1＋k1＋k2＋a(2－a)k1k2]＝0， 因为k1，k2＞0，k1≠k2，
22222
所以1＋k21＋k2＋a(2－a)k1k2＝0，
1??12＋1?＝1＋a2(a2－2)， 2＋1变形，得??k1??k2?
从而1＋a2(a2－2)＞1，解得a＞2，
c12则e＝＝ 1－2∈?，1?.
aa?2?
x2y2
10.(2017·南京、盐城调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)
ab
2
的离心率为，长轴长为4.过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2＋y2＝a2
2
于相异两点P，Q.
1AP
(1)若直线l的斜率为，求的值；
2AQ
→→
(2)若PQ＝λAP，求实数λ的取值范围.
2a＝4，
?a＝2，x2y2c2解 由题意得＝，解得?所以椭圆的方程为＋＝1，圆的方程为x2＋
42a2?b＝2，
a2＝b2＋c2，
y2＝4.
1??y＝2（x＋2），1
(1)法一 直线l的方程为y＝(x＋2)，由?得3x3＋4x－4＝0.
2
??x2＋2y2＝4
24?2?2?4?2452??解得xA＝－2，xP＝，所以P?3，3?.所以AP＝?3＋2?＋?3?＝3. 3
225
又因为原点O到直线l的距离d＝2＝，
51＋22453485AP5
所以AQ＝24－＝，所以＝＝.
55AQ856
5
??x＝2y－2，?x＝2y－2，4?2
法二 由?2得3y－4y＝0，所以yP＝.由?22得5y2－8y＝0，所以23??x＋2y＝4?x＋y＝4?
8APyP455yQ＝.所以＝＝×＝.
5AQyQ386
AQ→→
(2)法一 若PQ＝λAP，则λ＝－1，设直线l：y＝k(x＋2)，
AP
22??x＋2y＝4，由?得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－4＝0， ??y＝k（x＋2）
即(x＋2)[(2k2＋1)x＋(4k2－2)]＝0，
2－4k22－4k24k??所以xA＝－2，xP＝2，得P?2，2?.
2k＋1?2k＋12k＋1?224k?216＋16k24k2＋1?2?2－4k?所以AP＝?2＋2?＋2k2＋1＝
?（2k2＋1）2，即AP＝2k2＋1. ?2k＋1??
4k2＋141
同理可得AQ＝2.所以λ＝－1＝1－. 2k＋1k＋14k2＋1
??
???
2k2＋1