1
c334
解 (1)由已知得＝，2＋2＝1，
a2ab2
解得a＝4，b2＝1，
x22
椭圆C的标准方程是＋y＝1.
4
(2)设l与x轴的交点为D(n,0)，
直线l：x＝my＋n，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
x＝my＋n，??2
联立?x得(4＋m2)y2＋2mny＋n2－4＝0， 2
??4＋y＝1，
2mn2－44＋m2n2－4
，
24＋m2y1＋y2n2－4mn所以＝－，yy＝，
24＋m2124＋m2x1＋x2my1＋y2＋2n4n所以＝＝，
224＋m24nmn
即H?4＋m2，－4＋m2?，
??
4＋m222
由OH＝1，得n＝，
16＋m211
则S△POQ＝·OD·|y1－y2|＝|n||y1－y2|，
222222
令n(y1－y2)＝n[(y1＋y2)－4y1y2]
4＋m2
＝12×16×.
16＋m22设t＝4＋m2(t≥4)，
4＋m2t11则＝≤， 22＝21444816＋mt＋24t＋144
t＋＋24
t
144
当且仅当t＝，即t＝12时取等号，此时S△POQ＝1，
t
所以△POQ面积的最大值为1. －2mn±y1,2＝
x2y2
【例2－1】 (2018·宿迁调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)
ab
2
的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为62.
2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过
点F作MF的垂线，交y轴于点N.
1
①当直线PA的斜率为时，求△FMN的外接圆的方程；
2
②设直线AN交椭圆C于另一点Q，求△APQ的面积的最大值.
c2＝，a2?a＝4，
解 (1)由题意，得解得?则b＝22，
a2?c＝22，c＋＝62，
c
x2y2
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
168
(2)由题可设直线PA的方程为y＝k(x＋4)，k>0， 则M(0，4k)，可得MF的斜率为kMF＝－2k，
12
因为MF⊥FN，所以直线FN的斜率kFN＝－＝，
kMF2k
22
0，－?. 所以直线FN的方程为y＝(x－22)，则N?k??2k
11
①当直线PA的斜率为，即k＝时，M(0，2)，N(0，－4)，F(22，0)，
22
因为MF⊥FN，所以圆心为(0，－1)，半径为3， 所以△FMN的外接圆的方程为x2＋(y＋1)2＝9.
y＝k（x＋4），??22
②联立?xy消去y并整理得(1＋2k2)x2＋16k2x＋32k2－16＝0，
??16＋8＝1，
4－8k24－8k28k??解得x1＝－4或x2＝?， 2，2，所以P?1＋2k?1＋2k1＋2k2?
8k2－48k?1?直线AN的方程为y＝－(x＋4)，同理可得Q??， 2，－2k1＋2k2??1＋2k
所以P，Q关于原点对称，即PQ过原点.
116k32
所以△APQ的面积S＝OA·(yP－yQ)＝2×≤82， 2＝211＋2k
2k＋k
12
当且仅当2k＝，即k＝时，取等号.所以△APQ的面积的最大值为82.
k2
x2y2
【例2－2】 已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的
t3
直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA. (1)当t＝4，AM＝AN时，求△AMN的面积； (2)当2AM＝AN时，求k的取值范围. 解 (1)设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.
x2y2
当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2，0).
43
π
由AM＝AN及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为. 4
因此直线AM的方程为y＝x＋2.
???
x2y2
将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0，
431212
解得y＝0或y＝，所以y1＝. 77
11212144
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝. 27749
(2)由题意t>3，k>0，A(－t，0)，
x2y2
将直线AM的方程y＝k(x＋t)代入＋＝1得
t3
(3＋tk2)x2＋2t·tk2x＋t2k2－3t＝0.
t2k2－3tt（3－tk2）
由x1·(－t)＝得x1＝，
3＋tk23＋tk26t（1＋k2）
故AM＝|x1＋t|1＋k＝.
3＋tk21
由题设知，直线AN的方程为y＝－(x＋t)，
k
6kt（1＋k2）
故同理可得AN＝.
3k2＋t2k
由2AM＝AN得，即(k3－2)t＝3k(2k－1)， 2＝23＋tk3k＋t
23k（2k－1）3当k＝2时上式不成立，因此t＝. k3－2
k3－2k2＋k－2（k－2）（k2＋1）k－2
t>3等价于＝<0，即3<0. 33k－2k－2k－2
?k－2>0，?k－2<0，??33由此得?3或?3解得2 ??k－2<0，??k－2>0， 【训练2】 (2017·苏、锡、常、镇模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M(x0，y0) 2x 是椭圆C：＋y2＝1上一点，从原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2作两条切线分 4 别与椭圆C交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2. (1)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程； 25 (2)若r＝. 5 1 ①求证：k1k2＝－；②求OP·OQ的最大值. 4 (1)解 由题意可知c＝a2－b2＝4－1＝3，则椭圆C右焦点的坐标为(3，0)，因为圆 M与x轴相切于椭圆C的右焦点，且点M是椭圆上一点，所以圆心M的坐标为 1?1?3，±，半径为， 2??2 1111 y＋?＝或(x－3)2＋?y－?＝. 所以圆M的方程为(x－3)＋??2?4?2?4 2 22 |k1x0－y0|25 (2)①证明 因为圆M与直线OP：y＝k1x相切，所以＝， 5k21＋1 22 即(4－5x0)k1＋10x0y0k1＋4－5y20＝0， 22 同理可得(4－5x0)k2＋10x0y0k2＋4－5y20＝0， 22 所以k1，k2是方程(4－5x0)k＋10x0y0k＋4－5y20＝0的两个实根， 2?1－1x2?－1＋5x0 4－520 4?4?4－5y01 所以k1k2＝＝2＝22＝－. 44－5x04－5x04－5x0 y＝kx，??21 ②解 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立?x 2 ＋y＝1，??4 2 44k144k222222 解得x1＝， 2，y1＝2，同理可得x2＝2，y2＝1＋4k11＋4k11＋4k21＋4k22 2 44k244k21??22?所以OP·OQ＝1＋4k2＋1＋4k2·1＋4k2＋1＋4k2? ?11??22? 5＋20k22 1 2222 24（1＋k1）4（1＋k2）4＋4k11＋16k125 ＝·＝(当且仅当222·2≤22＝41＋4k11＋4k21＋4k11＋4k1（1＋4k1） ? ???1 k1＝±时取等 2 号)， 5 所以OP·OQ的最大值为. 2 专题训练 一、填空题 x22→→ 1.已知F1，F2是椭圆＋y＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则PF1·PF2的最大值是 4 ________. 解析 设P(x，y)，依题意得点F1(－3，0)，F2(3，0)， 3→→ PF1·PF2＝(－3－x)(3－x)＋y2＝x2＋y2－3＝x2－2， 4 3→→ 注意到－2≤x2－2≤1，因此PF1·PF2的最大值是1. 4 答案 1 2.(2018·苏、锡、常、镇调研)在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x＋y＋1＝0与双曲线C： 22xy －＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心a2b2率e的取值范围是________.