a2于相异两点P，Q.
1AP
(1) 若直线l的斜率为，求的值；
2AQ
→→
(2) 若PQ＝λAP，求实数λ的取值范围.
x22
11. (2018·苏州自主学习)如图，已知椭圆O：＋y＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆
4
O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.
(1) 当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积； (2) ① 记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；
→→② 求PB·PM的取值范围.
12. (2018·苏北四市调考)如图，在平面直角坐标系xOy
x2y21
中，已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，
ab23
1，?.F为椭圆的右焦点，A，B为椭圆上且过点??2?关于原点对称的两点，连接AF，BF并延长分别交椭圆于点C，D. (1) 求椭圆的标准方程；
BF
(2) 若AF＝FC，求的值；
FD
(3) 设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，是否存在实数m，使得k2＝mk1？若存在，求出
m的值；若不存在，请说明理由.
微专题：圆锥曲线中的范围最值问题
【例1－1】(2016·南通、扬州、泰州调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，
已知椭圆x2
a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为2
2
，长轴长为4.过椭圆的左顶点
A作直线l，分别交椭圆和圆x2＋y2＝a2
于相异两点P，Q.
1AP
(1)若直线l的斜率为，求的值；
2AQ
→→
(2)若PQ＝λAP，求实数λ的取值范围.
2a＝4，
?a＝2，c2
解 由题意得＝，解得?
a2?b＝2，a2＝b2＋c2，
x2y2
所以椭圆的方程为＋＝1，圆的方程为x2＋y2＝4.
42
1
(1)法一 直线l的方程为y＝(x＋2)，
2
1??y＝2（x＋2），24?2
，. 由?得3x3＋4x－4＝0.解得xA＝－2，xP＝，所以P?33??322??x＋2y＝4
2?2?4?245?所以AP＝?3＋2?＋?3?＝3.
225485AP
又因为原点O到直线l的距离d＝2＝，所以AQ＝24－＝，所以
555AQ1＋224535＝＝. 8565
?x＝2y－2，?42
法二 由?2得3y－4y＝0，所以y＝. P23?x＋2y＝4?
??
???
??x＝2y－2，8APyP455
由?22得5y2－8y＝0，所以yQ＝.所以＝＝×＝.
5AQyQ386?x＋y＝4?
AQ→→
(2)法一 若PQ＝λAP，则λ＝－1，
AP
设直线l：y＝k(x＋2)， ?x2＋2y2＝4，?由?得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－4＝0， ??y＝k（x＋2）
即(x＋2)[(2k2＋1)x＋(4k2－2)]＝0，
2－4k22－4k24k??所以xA＝－2，xP＝2，得P?2，2?.
2k＋1?2k＋12k＋1?224k?216＋16k2?2?2－4k?所以AP＝?2＋2?＋2k2＋1＝
?（2k2＋1）2， ?2k＋1??
4k2＋141
即AP＝2.同理可得AQ＝2. 所以λ＝－1＝1－. 22k＋1k＋1k＋14k2＋1
2k2＋1
由题意知k2＞0，所以0＜λ＜1.
4k2＋1
4kk＋1AQyQ1
法二 由法一知λ＝－1＝－1＝－1＝1－2，由题意知k2＞0，所以0
APyP4kk＋1
22k＋1
＜λ＜1.
2
x2y23
【例1－2】已知点A(0，－2)，椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的
ab2
23
右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.
3
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
223
解 (1)设F(c，0)，由条件知＝，得c＝3.
c3
c3
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1. a2
x22
故E的方程为＋y＝1.
4
(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).
x22
将y＝kx－2代入＋y＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
4
当Δ＝16(4k2－3)>0，
8k±24k2－323即k>时，x1，2＝. 44k2＋1
4k2＋1·4k2－3从而PQ＝k＋1|x1－x2|＝.
4k2＋12
又点O到直线PQ的距离d＝2.
k＋1
244k2－31
所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·PQ＝. 24k2＋1
4t4
设4k2－3＝t，则t>0，S△OPQ＝2＝.
4t＋4
t＋t
47
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.
t2
77
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
22
x2y23【训练1】(2017·江苏镇江一模)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点
ab2
?－3，1?在椭圆C上．
2??
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为H，O为坐标原点，且OH＝1，求
△POQ面积的最大值．