微专题：圆锥曲线中的范围最值问题
【例1－1】(2016·南通、扬州、泰州调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
22xy2
，长轴长为4.过椭圆的左顶2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为ab2
点A作直线l，分别交椭圆和圆x2＋y2＝a2于相异两点P，Q.
1AP
(1) 若直线l的斜率为，求的值；
2AQ
→→
(2) 若PQ＝λAP，求实数λ的取值范围.
x2y23
【例1－2】已知点A(0，－2)，椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的
ab2
23
右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.
3
(1) 求E的方程；
(2) 设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
x2y23
【训练1】 (2017·江苏镇江一模)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点
ab2
?－3，1?在椭圆C上．
2??
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若直线l交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为H，O为坐标原点，且OH＝1，
求△POQ面积的最大值．
【例2－1】 (2018·宿迁调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，已
x2y22
知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且右焦点F到左
ab2
准线的距离为62. (1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直
线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N.
1
①当直线PA的斜率为时，求△FMN的外接圆的方程；
2
②设直线AN交椭圆C于另一点Q，求△APQ的面积的最大值.
x2y2
【例2－2】 已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的
t3
直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1) 当t＝4，AM＝AN时，求△AMN的面积； (2) 当2AM＝AN时，求k的取值范围.
【训练2】 (2017·苏、锡、常、镇模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M(x0，y0)
2x
是椭圆C：＋y2＝1上一点，从原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2作两条切线分
4
别与椭圆C交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2.
(1) 若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；
251
(2) 若r＝. ①求证：k1k2＝－；②求OP·OQ的最大值.
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专题训练
一、填空题
x22→→
1. 已知F1，F2是椭圆＋y＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则PF1·PF2的最大值
4
是________. 2. (2018·苏、锡、常、镇调研)在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x＋y＋1＝0与双曲线
2
xy2
C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离
ab
心率e的取值范围是________.
x2y2
3. 已知椭圆＋2＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B
4b
两点，若BF2＋AF2的最大值为5，则b的值是________.
x22
4. 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆＋y＝1有两个
2
不同的交点，则k的取值范围为________.
x2y2
5. 已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆x2－4x＋y2＋2＝0有交点，则双曲线的
ab
离心率的最大值是______.
x2y2x2y2
6. (2018·无锡期末)已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)与椭圆＋＝1的焦点重合，
ab1612
2PF1离心率互为倒数，设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则PF2
的最小值为________.
x2y2
7. (2018·苏中四校联考)在平面直角坐标系xOy中，设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的焦距为
ab
a＋b
2c(c>0).当a，b任意变化时，的最大值是________.
c
y22
8. (2017·扬州中学测试)过双曲线C：x－＝1的右焦点F作直线l与该双曲线的右支交于
3
点A，若l与双曲线在左支存在另一个交点，则线段AF长度的取值范围为________.
二、解答题
x2
9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：2＋y2＝1(a＞1)．
a
(1) 若椭圆C的焦距为2，求a的值；
(2) 求直线y＝kx＋1被椭圆C截得的线段长(用a，k表示)；
(3) 若以A(0,1)为圆心的圆与椭圆C总有4个公共点，求椭圆C的
离心率e的取值范围．
10. (2017·南京、盐城调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，
x2y22
已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为
ab2
4.过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2＋y2＝