成都石室中学2019~2020学年度上期高2020届10月月考 数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合M?{x|(x?1)(x?2)?0},N?{x|x?0}，则（ ） A. N?M B. M?N C. M?N?? D. MN?R 2.已知i为虚数单位，则i?i2?i3??i2019等于（ ） A. i B. 1 C. ?i D. ?1 3.已知命题p：?x?(??,0),2x?3x?1?0，命题q：若x?0，则2x2?3x?1?0，则以下命题正确的为（ ）

A.p的否定为“?x?[0,??),2x?3x?1?0”，q的否命题为“若x?0，则2x2?3x?1?0” B.p的否定为“?x?(??,0),2x?3x?1?0”，q的否命题为“若x?0，则2x2?3x?1?0” C.p的否定为“?x?[0,??),2x?3x?1?0”，q的否命题为“若x?0，则2x2?3x?1?0” D.p的否定为“?x?(??,0),2x?3x?1?0”，q的否命题为“若x?0，则2x2?3x?1?0” 4.已知?an?是公差为A.

2222235 21的等差数列，Sn为?an?的前n项和.若a2,a6,a14成等比数列，则S5?（ ） 225B.35 C. D. 25

25.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图所示是源于其思想的一个程序框图，若输入的

中应填（ ） x?5，y?2，输出的n?4，则程序框图中的A. x?y

C. y?x

B.y?x D.x?y

?2?x,x?11?6.设函数f(x)??xfa??，则满足f?????2f?a?的

?,x?1?2a的取值范围是（ ）

?C. ?2,???

（ ）

A. ???,0 B. ?0,2?

D. ???,0???2,???

7. 若直线y?4?k?x?2?与曲线y?4?x2有两个交点，则k的取值范围是

??3?? 4?A.?1,??? B.??1,? C. ?

8.已知a?2ln3，b?3ln2，c?

?3?,1? D. ???,?1? ?4?6，其中e是自然对数的底数．则a,b,c的大小关系为（ ） eA. a?c?b B. b?c?a C. c ?a?b D. c?b?a

理科数学 第1页 共4页

9.2021年广东新高考将实行3?1?2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学生物四选二，共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率（ ）

1111 B. C. D.

168636x?x10.高斯函数f(x)??x?（?x?表示不超过实数x的最大整数），若函数g(x)?e?e?2的零点为x0，则

A.

g?f(x0)?=（ ）

111A.?e?2 B.?2 C. e??2 D.e2?2?2 eeex2y2311.已知双曲线C:2?2?1（a?0,b?0）的焦距为4，其与抛物线E:y2?x交于A,B两点，Oab3为坐标原点，若?OAB为正三角形，则C的离心率为（ ）

32A. B. C. 2 D. 3 22123x12.已知函数f(x)?x?2x?1?e?x，其中e是自然对数的底数．若f(a?1)?f?2a??2，则实数ae的取值范围是（ ）

A. ??1,?

2??1??B. ???3?,1? 2??C. ??1,?

2??3??D.

?1??,1? ??2?

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知数列{an}满足a1?1，lgan?1?lgan?1，则a5?______． 214.现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有______种．（用数字作答）

2?15.已知球O的内接圆锥体积为，其底面半径为1，则球O的表面积为______．

316.已知抛物线C：y2?2px(p＞0)的焦点为F，且F到准线l的距离为2，直线l1:x?my?5?0与抛物线C交于P,Q两点（点P在x轴上方），与准线l交于点R，若QF?3，则

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）

在?ABC中，D是BC上的点，AD平分?BAC，sinC?2sinB.

S?QRFS?PRF?______

BD； CD（Ⅱ）若AD?AC?1，求BC的长．

（Ⅰ）求

18.（本小题满分12分）

为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准（2014年修订）》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试（健康指数满分100分），并从中随机抽取了200名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.

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（Ⅰ）估计这200名学生健康指数的平均数x和样本方差s2（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X近似服从正态分布N?,?均数x，?2近似为样本方差s2. ①求P(63.4?X?98.2)；

②已知该市高三学生约有10000名，记体质健康指数在区间?63.4,98.2?的人数为?，试求E?. 附：参考数据1.35?1.16， 若随机变量X服从正态分布N?,?

19.（本小题满分12分）

?2?，其中?近似为样本平

?2?，则P(????X????)?0.683，

P(??2??X???2?)?0.955，P(??3??X???3?)?0.997.

1AD，G是PB2的中点，?PAD是等边三角形，平面PAD?平面ABCD.

在四棱锥P?ABCD中，AD//BC，AB?BC?CD?

（Ⅰ）求证：CD?平面GAC；

（Ⅱ）求二面角P?AG?C大小的正弦值.

20.（本小题满分12分）

x2y26 已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?过点A?0,1?，且椭圆的离心率为．

ab3 (Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)斜率为1的直线l交椭圆C于M?x1,y1?,N?x2,y2?两点，且x1?x2．若直线x?3上存在点P，使得

?PMN是以M为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．

21.（本小题满分12分）

x2已知函数f(x)?e??1．

2（Ⅰ）若直线y?x?a为f?x?的切线，求a的值；

x（Ⅱ）若?x??0,???，f?x??bx恒成立，求b的取值范围

22（本小题满分10分）

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在平面直角坐标系xOy中,圆C：x2??y?4??4.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.

（Ⅰ）求圆心C的极坐标；

（Ⅱ）从原点O作圆C的弦，求弦的中点轨迹的极坐标方程.

成都石室中学2019~2020学年度上期高2020届10月月考 数学试卷（理科）答案

一、选择题：B D B C A D C C D B C A 二、填空题：

62513. __100____．14. ___36___．15.____ ?__．16. ______．

47三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由正弦定理可得在?ABD中，在?ACD中，

2ADBD?， sinBsin?BADADCD?，…………………………3分 sinCsin?CADBDsinC??2.…………………………6分 又因为?BAD??CAD，

CDsinB（Ⅱ）sinC?2sinB，由正弦定理得AB?2AC?2，

AB2?AD2?BD25?4x2设DC?x，则BD?2x，则cos?BAD??，cos?CAD2AB?AD4AC2?AD2?CD22?x2.…………………………9分 ??2AC?AD2因为?BAD??CAD，

5?4x22?x22. 所以，解得x??42232.…………………………12分 BC?3x?218.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，各区间对应的频数分布表如下： 分值区间 频数 ?40,50? ?50,60? ?60,70? ?70,80? ?80,90? ?90,100? 5 15 40 75 45 20 1?75，…………………3分 20051540452222s2??45?75????55?75????65?75????85?75??

200200200200202??95?75???135.………………………6分

200（Ⅱ）①由（Ⅰ）知X服从正态分布N?75,135?，且??11.6，

11∴P(63.4?X?98.2)?P(?-??X??+2?)=?0.955??0.683?0.819.………………9分

224②依题意，?服从二项分布，即?B?10,0.819?，则E??np?8190.………………12分

∴x??45?5?55?15?65?40?75?75?85?45?95?20??理科数学 第4页 共4页