即×1×sin B,解得sin B=.
则B=45°或B=135°.
当B=45°时,AC=AB+BC-2AB·BC·cos B=1+(
2
2
2
2
)-2×1×
2
=1,
此时AC+AB=BC,△ABC为直角三角形,不符合题意; 当B=135°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=12+(
)2-2×1×
=5,解得AC=
,符合题意.故选B.
222
13.(2014·四川·文T8)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于( )
A.240(C.120(
-1) m B.180(-1) m D.30(
-1) m +1) m
【答案】C
【解析】如图,作AD⊥BC,垂足为D.由题意,得DC=60×tan 60°=60DB=60×tan 15°=60×tan(45°-30°) =60×
=60×
=(120-60
)
m.
所
以
(m),
BC=DC-DB=60-(120-60)=120-120=120(-1)(m),故选C.
14.(2013·全国1·文T10)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( )
A.10 B.9 C.8 D.5
【答案】D
【解析】由23cos2A+cos 2A=0,得cos2A=.
∴cos A=±.
∵A∈,∴cos A=.
∵cos A=,∴b=5或b=-(舍).
15.(2013·全国2·文T 4)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为
( ) A.2C.2
+2 -2
B.D.
+1 -1
【答案】B
【解析】A=π-(B+C)=,
由正弦定理得,
则a=,
∴S△ABC=absin C=×2×()×+1.
二、填空题
1.(2019·全国2·理T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为
___________. 【答案】
【解析】∵b=a+c-2accos B, ∴(2c)+c-2×2c×c×=6,
2
2
2
222
即3c=36,解得c=2∴a=2c=4
.
2
或c=-2(舍去).
∴S△ABC=acsin B=×4×2=6.
2.(2019·全国2·文T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B= . 【答案】
【解析】由正弦定理,得sin Bsin A+sin Acos B=0.∵A∈(0,π),B∈(0,π),∴sin A≠0,∴sin B+cos B=0,即tan B=-1,∴B=.
3.(2019·浙江·T14)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则 BD= ,cos∠ABD= . 【解析】如图所示,
设CD=x,∠DBC=α,则AD=5-x,∠ABD=-α,在△BDC中,由正弦定理得=3?sin α=.在△ABD
中,由正弦定理得=4?cos α=.由sinα+cosα=
22
=1,解得x1=-(舍
去),x2=?BD=.在△ABD中,由正弦定理得?sin∠ABD=?cos∠ABD=.
4.(2018·浙江·T13)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=B=___________,c=___________.
,b=2,A=60°,则sin
【答案】 3
【解析】由正弦定理,
可知sin B=.
∵a=>b=2,∴B为锐角.
.
∴cos B=
∴cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=.
由余弦定理,得c=a+b-2abcos C=7+4-2×2×
222
=7+4-2=9.∴c=3.
5.(2018·北京·文T 14)若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B= ________;的取值范围
是 . 【答案】(2,+∞)
【解析】由余弦定理得cos B=,
∴a+c-b=2accos B.
又∵S=(a2+c2-b2),∴acsin B=×2accos B,
222
∴tan B=,∴∠B=.又∵∠C为钝角,
∴∠C=-∠A>,∴0<∠A<.
由正弦定理得.