2012年全国高中数学联赛模拟卷(7)答案

?2a?1?31、由条件知A?B, ① A＝Ф, 2a+1＞3a＋5, ② A≠Ф,??3a?5?22, 解得a＜－4或1?a?9.

?3a?5?2a?1?m22、由题意知，m,n??1,2,3,4,5,6?，则事件总数为36，而方程有实根等价于m?4n, 即：n?，

4219

据此可列出n的值：1, 2, 3, 4, 5, 6。m的个数为：5, 4, 3, 3, 2, 2。即5+4+3+3+2+2=19，故概率为

36

3、过D作平面ABC的垂线，垂足为H，作DE?AB，垂足为E，DF?AC，垂足为F， 则HE?AB,HF?AC，且有AE?AF?ADcos45??6。由于

AEH?AF，H则

?HAE?30?，

AEAH??22，DH?AD2?AH2?2，因此DH为半径为1的球的直径，从而四面体

cos30?ABCD 的外接球的球心O在DH的延长线上，于是有r2??r?2??224、延长EA，CB交于P，设正方形边长为1，易知PB=2，A为EP的中点，EA=AP=

2??，解得r?3.

2由AM??AC， 3，1P?C3B，可得：又CCA是PCE边上的中线，则有CA?CE?CP， CN??CE，CM??1???CA，

23?1???1??113CM?CN?CB，整理得：CM?CN?CB，因为当B，M，N三点共线即：1??2?22?21??3?1???3??1，解得??时，存在实数t使得CM??1?t?CN?tCB，故 2?23??5、∵f(x)是偶函数, ∴f(?x)?f(x), 即x2?(b?4?a2)x?3a?b?x2?(b?4?a2)x?3a?b,

(b?4?a2)x?0,b?4?a2. f(x)的图像与y轴交点的纵坐标是3a?b?3a?4?a2, 设a=2cosθ, b=2sinθ, θ∈[0, π], 3a－b=6cosθ－2sinθ, 当θ＝π时，最大为6 6、2[(x?t?2)?(x?at)]?[(x?t?2)?(x?at)]?[(x?t?2)?(x?at)]

22222222[(x?t2?2)2?(x?at)2]?(2x?t2?2?at)2?(t2?2?at)2 11222222即(2x?t?2?at)?(t?2?at)?恒成立, 则(t?2?at)?,

44333522t2?t2?t?112?6, 222?2或a?2. ∵即t?2?at?或t?2?at??. a?tt22tt32t?3622)?6. 当且仅当t?, 即t??[1,2].故a?(min22t5555t2?t2?12?2?t?2在[1,2]单调递减, 故a?(2)?2?7. 又易知函数maxttt127综上可知, 实数a的取值范围是(??,6)(,??).

2t2?第25页 / 共27页

a3?c31)3, 猜想当a?c时, 角B达到最大值, 由余弦定理知, 7. 解：注意到条件b?(222a3?c33a3?a332222a?c?()a?c?()a2?c2?b21?22???此时cosB?, 得到B=. 22ac2ac2a232a3?c3322a?c?()112?, 为此只需证明cosB?. 即证明cosB?2ac22即 4(a2?ac?c2)3?(a3?c3)2?[(a?c)(a2?ac?c2)]2,

即 4(a2?ac?c2)?(a?c)2, 即3(a?c)2?0. 显然.

8、因为v?1，所以u?w?3v?3，于是u对应的点P在以w对应的点M为圆心， 3为半经的圆C上，当u的辐角主值最小时,OP与圆C相切，而OM?5，PM?3， 则OP?4，于是所以

wu?w435，又的辐角主值???POM，cos??，sin??，

55u4u1612w5?43?3?i ???i??1?i，故?w2525u4?55?49、由条件③令m＝0得f(0)＝0；再令m＝x，n＝－x得：f(－x) ＝－f(x)；所以f(x)在R上是奇函数．

设x1，x2∈R，且x2＞x1，则x2－x1＞0，由①和③知： f?x2?x1??f?x2??f??x1??f?x2??f?x1?＞0，所以f?x?在R上是增函数． 由f(1)＝2及③可得：24＝12f(1)＝f(12)，所以f(3x2)＋f(4y2)?24，

22即f(3x2＋4y2)?f(12)，从而A??x,y?3x?4y?12；

??由f(x) －f(ay)＋f(3)＝0得：f(x－ay＋3)＝f(0),从而B?由f?x????x,y?x?ay?3?0?；

1fy2?f?a?得：f?2x?a??f?y2?，从而C??x,y?y2?2x?2a； 21315?a?2； 由A∩B≠Ф可求得：a?；由A∩C≠Ф可求得：?63?1315??15?,2?． 所以实数a的取值范围是：??,????633????y22?1．①， 焦点坐标?3,0，不防设l过右焦点F：3,0． 10、x?22?若l?x轴，则A，B坐标为3,?2，3,?2??AOB?2arctan＞，矛盾！

32????????????故可设l的方程为y?kx?3．② 设A：（x1,y1）,B（x2,y2）. ∵?AOB????2，∴

2y1y2???1?x1x2?y1y2?0． ③ x1x222222由①、②，得2x?kx?3?2?k?2x?23kx?3k?2?0． ④ k2＝2时，④只有一个根，至多只能对应一个交点，不可能．故k2≠2．

??2????第26页 / 共27页

23k2由韦达定理得 x1?x2?2， ⑤

k?23k2?2 x1x2?2． ⑥

k?2由②、⑤、⑥，得y1y2?k2x1?3x2?3?k2x1x2?3?x1?x2??3

???????3k2?26k23k2?6?4k2?k??k2?2?k2?2?k2?2????k2?2． ⑦

??3k2?24k22?k2?2?0?2?0，矛盾！ 由③、⑥、⑦，得2k?2k?2k?2故不存在过右焦点的直线l，同时满足条件（1）、（2）．同理，也不存在过左焦点的直线满足题

2意．

11、由已知：

?ai?1ni?1???ai?1?，从而还有?ai?1???ai?1?

i?1i?1i?1nn?1n?1以上两式相减，得?an?1?1?（1）若数列中所有项均为1，则

?ai?12003ni?an?1?1， 故an?1?1或?ai?1． ①

i?1n?ai?1i． ?i??1?i??j?2005003i?1j?020032002（2）若数列中所有项不均为1，设a1＝a2＝?am?1＝1(m＝1时该式省去)，am≠1.

①中，取n＝m, 有am＋1＝1或a1a2?am?1am＝1．

由前面所设，a1a2?am-1am＝am ≠1∴am＋1＝1．设am＋k＝am＋k－1＝?am＋1＝1，

则①中，取n＝m＋k, 有am＋ k＋1＝1或a1a2?am＋k＝1，同理，只可能是am＋ k＋1＝1． 另外，由下式②可说明，当am ≠1，n?m时，可以保证条件成立：

?ai?1mi?am?ai?am??am?1??1???ai?1??1???ai?1?．②

1?i?ni?m1?i?ni?mi?1n当m＞2003时，归为（1）的情形．

2003若1?m?2003，则

?ai?1i． ?i??j?am?m?1?m??j?0?2002?2003001j?0j?020022002综上，当a1＝a2＝?a2002＝1,a2003＝2003时，取最小值，等于2003001．

第27页 / 共27页