1001001?1?2?1?2?， 8、由二项式定理：a?b2?1?2，a????2?1001002002001?1??? b?1?2?1?21?2?1?2，故ab???????22?42?100100nn1?1??3?22?3?22?，设xn?3?22?3?22?，
??????42?42???????100????????????????nnn?1n?1?xyxn?2?yn?2得： 则x1?1,x2?6，由恒等式x?y??x?y?x?y????xn?6xn?1?xn?2?n?3?，?xn?的个位数字依次为1，6，5，4，9，0，1，6，5，4，9，
0，?，所以xn?6≡xn?mod10?，x100≡x6?16?4≡x4?4?mod10?
9、证明：原不等式等价于(n?1)(a1?1)(2a2?1)?(nan?1)?2n(1?a1?2a2??nan)， 设xi?iai?1,(i?1,2,?n)，则xi?2,(i?1,2,?n)，原不等式即为
n?1x1?x2???xn?(n?1)?(*) nx1x2?xn2x?x???xn?(n?1)1?23x1若令x2,x3,?,xn不变，则(*)式右边为，由xi?2,(i?1,2,?n)知x1?2时
x2x3?xnn?1(*)式右边取最大值。同理知xi?2,(i?1,2,?n)时，(*)式右边取最大值为n，即原不等式成立
2412112210、解：由题可知n?2时，an?1?an?an，又a2?a1??()?，不妨设b1?,bn?an(n?2)，
93332bnbnb?b1112*则bn?1?bn?bn(n?N)，∴ ???n?1n??bn?1bn?1bn?1bnbn?1bnbnbn?13b?11111111111∴????(?)?(?)??(?)?3??n?1 b1?1b2?1bn?1b1b2b2b3bnbn?1bn?1bn?13bn?1?1357111111111???则=＝ ?????????a1?1a2?1an?1b1?1b2?1bn?11?a11?b1bn?12020bn?157122易知bn?1为正数，且bn?1?bn?bn?b1?， n趋于无穷大时，bn?1趋于无穷大，则M的最小值为
209x0y0G(,). 11、解：(1)假设存在点P坐标为(x0,y0)(y0?0),而G为?PF的重心, 故F1233而I为?PF1F2的内心, 设?PF1F2的内切圆半径为r, 则
11S?PF1F2?|F1F2|?|y0|?(|PF1|?|PF2|?|F1F2|)?r, 于是
2211?2c?|y0|?(|PF|?|PF|?21c)?r. 2222cy02cy0yr??0, 即|PF1|?|PF2|?4c. . 由IG∥F1F2知,
|PF1|?|PF2|?2c|PF1|?|PF2|?2c3(n?1)x1x2?xn?2(x1?x2???xn?n?1)，等价于
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c. 由焦半径公式知, |PF1|?ex0?a,|PF2|?ex0?a, 则|PF1|?|PF2|?2ex0. ax02y022c2?3??1. 故2ex0?4c, 即x0???4. 又点P(x0,y0)(y0?0)在双曲线上, 则
345e2解得y0?15(舍负). 故存在P(4,15), 使得IG∥F1F2.
(2) 若直线l斜率不存在, 显然k1?k2?0不合题意. 若直线l斜率存在, 设过F2(3,0)的直线方
又a?2,e?程为y?k(x?3), 直线和椭圆交于M(x1,y1),N(x2,y2).将y?k(x?3)代入5x2?4y2?20中,
?24k2x1?x2?2,??4k?52222得到(5?4k)x?24kx?36k?20?0. 由韦达定理可知: ?
2?xx?36k?20.12?4k2?5?y1yx?3x2?311又kAM?kAN??2?k(1?)?k[2?5(?)],
x1?2x2?2x1?2x2?2x1?2x2?2x1?x2?41124k2?4(4k2?5)2k2?1而, ????2222x1?2x2?2x1x2?2(x1?x2)?436k?20?48k?4(4k?5)5k从而kAM?kAN2k2?111?k(2?5??)??, 即k??2. 故所求直线l的方程为
5k2k2y??2(x?3. )
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2013年全国高中数学联赛模拟卷(6)第一试
(考试时间：80分钟 满分：120分)
姓名：_____________考试号：______________得分：____________
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1．函数 y?5x?1?10?2x的最大值是 _______ 2．青蛙在正六边形ABCDEF上A点处，每次向相邻顶点跳跃.到达D点或者跳满五次则停止.不同跳
跃
方式有____________种. 3．设f(x)?ax2?bx?c,f(0)?1,f(1)?1,f(?1)?1,则f(2)的最大值为 ___________ 4．设数列{an}的前n项和Sn满足：Sn?an?x2y2
5．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)与直线x?y?1交于M, N两点, 且OM?ON(O为原点), 当椭圆的
ab
32
离心率e∈[, ]时, 椭圆长轴长的取值范围是 __________
32
6．对于每个大于等于2的整数n，令f(n)表示sinnx?sinx在区间[0,?]上不同解的个数，
n?1，n?1,2,n(n?1)，则通项an= ______ g(n)表示cosnx?cosx在区间[0,?]上不同解的个数，则?(g(n)?f(n))=____________
n?220077．在平面直角坐标系中，定义点P(x1, y1), Q(x2, y2)之间的“直角距离”为d(P, Q)=|x1－x2|＋|y1－y2|
若C(x, y)到点A(1, 3), B(6, 9)的“直角距离”相等，其中实数x, y满足0?x?10, 0?y?10， 则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为 _________
8．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动， 则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）
a?b?c2)?0，求证：－1与1中至少9．已知a,b,c是实数, 二次函数f(x)?ax?bx?c满足f(2a有一个是f(x)?0的根.
10．设b?0，数列{an}满足a1?b，an?nban?1(n?2)．
an?1?2n?2bn?1（1）求数列{an}的通项公式； （2）证明：对于一切正整数n，an?n?1?1．
2
x2?y2?1，过定点C(1,0)两条互相垂直的动直线分别椭交圆于P,Q两点。F1,F2分11．已知椭圆2别
为左右焦点，O为坐标原点。 （1）求向量|PF1?PF2|的最小值；
（2）当向量PF1?PF2与QF1?QF2互相垂直时，求P,Q两点所在直线的斜率。
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2011年全国高中数学联赛模拟卷(6)答案
1、函数的定义域为[1, 5]，且y＞0, y?5x?1?2?5?x ?52?(2)2?(x?1)2?(5?x)2?27?4?63 127
时函数取最大值63 27
2、 跳5步共有32种，其中包含3步跳到D的两种情形，应减去8种，
所以满足条件的5步跳有24种。在加上2种3步跳，共26种。
当且仅当2?x?1?55?x，等号成立，即x＝
3、f?2??4a?2b?c?3?a?b?c???a?b?c??3c?3f?1??f??1??3f?0??3f?1??f??1??3f?0?
?3?1?3?7, 当f?x???2x2?1时, f?2??7
nn?1n?2?2114.an?1?Sn?1?Sn??an?1??an，即 2an?1????an
(n?1)(n?2)n(n?1)(n?1)(n?2)n?1n(n?1)
?2111 =，由此得 2(an?1?． ?an?)?an?(n?1)(n?2)n(n?1)(n?1)(n?2)n(n?1)令bn?an?1111111，b1?a1?? (a1?0)，有bn?1?bn，故bn?n，所以an?n?．
2222n(n?1)n(n?1)2?x2y2?1??5.由?a2b2,可得(a2?b2)x2?2a2x?a2?a2b2?0 ①
??x?y?12a2由OM?ON得x1x2?y1y2?0, 即2x1x2?(x1?x2)?1?0, 将x1?x2??2, 2a?ba2?a2b211113c2??2?2?x1x2?2代入得, 即, 因为, 得 ??a2b2b2a2a?b23a21b211b2231?1?2?, 得?2?, 有?a2?(2?2)?2, 解得5?2a?6. 2a3a22a32k?12k? 或x??，又6、由sinnx?sinx得：nx?2k??x或2k????x，即x?n?1n?1x?[0,?]， nn?12k?12m???，讨论得：则0?k?或0?k?；但两组取值可能重复。若
22n?1n?1n?4t?1,t?N*
2k2kn?1n?1?或x??，0?k?时重复一组。同理对于cosnx?cosx，x?或0?k?， n?1n?122n?1为公共部分，n为奇数时， n?2t?1,t?N*时重复一组。比较两种解的取值知，0?k?2n?1n*0?k?比0?k?多一组解，但g(n)当n?2t?1,t?N时重复一组。
22** f(n)只当n?4t?1,t?N时重复一组。实质只有当n?4t?1,t?N时，g(n)比f(n)多1个解，
20072005?5?1?501。 其余情况解相同。所以?(g(n)?f(n))=
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