2013年全国高中数学联赛模拟卷(4)答案

1、设a?21?32?73?114,b?21?32?73?114, 则有

????????{?1,?1}max?4,{?2,?2}max?3,{?3,?3}max?2,{?4,?4}max?1.

故有序正整数对(a, b)有(2?4?1)(2?3?1)(2?2?1)(2?1?1)=945组.

11

2、当x＞0时，16x＋?8，（x＝取到等号）而

x4

1

，(x＝＋k, k∈Z

4

11

取到等号), 于是有当x＞0时，方程只有一个解x＝。由于奇函数的性质，可知x＝是方程的另44

一解。

11

故方程的解集合为{, －} 44

2222223、解：由cos?OSA?cos?OSB?cos?OSC?1，

得sin?OSC?cos?OSA?cos?OSB?2cos?OSA?cos?OSB， 同理还有两个不等式，则W?22． 4

M?(x?1)2?(x?2)2?1?(y?2)2?x2?(x?y)2A(1,B2)x,x(，Cy

点A关于直线y?x的对称点为A1(2,1)，关于y轴的对称点为A2(?1,2)，

、

解

：

配

方

得

所以：M?|AB|?|AC|?|BC|?|A1B|?|A2C|?|BC|?|A1A2|?10．

，设

2?2?n?isin ， 则z1是方程z?1的根， nn2则1?z?z2?zn?1?(z?z1)(z?z1)(z?z1n?1)，

?2?(n?1)?2011?n?|(1?z1)(1?z12)(1?z1n?1)|?2n?1sinsinsin，令n?2011，则原式＝2010

nnn26、解：设经过n次传球跑动后回到甲的不同传球方式为an（n?2），则an?an?1?4n?1，

5、解：设z1?cos所以 a6?(a6?a5)?(a5?a4)?7、解：由①②③可推出f(1,n)?n?22n?1?(a2?a1)?a1?45?44?43?42?4?820

f(2,n)?2n?3f(3,n)?2n?3?3．f(3,2011)?22014?3 8、解： 当n?2时，令x1?a1,xi?1?ai?1?aii?1,2,3,,2n?1

则

?xi?22i?1，ai?x1?x2??xi

?xn)

所以：??n(x1?x2??x2?2x3??(1?2?9、解：由

22?xn)?nxn?1?(n?1)xn?2??x2n?(nx1?(n?1)x2??(n?1)xn?nxn?1?(n?1)xn?2??x2n

?n?2n(2n2?1)． ?1)?x?3i?222n?12imm?1?2? 可得2n?1?m?2(n?1) n?1n对于每个n，在这个范围内的整数个数为[2(n?1)]?[2n?1]?[2(n?1)]?[2n]?1

又7072?1000?7082 ， 则n?707, 但当n?707时，m?999,1000 所以：数对(m,n)的总数为

?([n?17062(n?1)]?[2n]?1)?2

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??([2(n?1)]?[2n])?708n?1706

?708?[7072]?[2]?708?999?1?1706

10、证明：如图，

|PF1||?由椭圆的定义知：|PP，|F1M|?p， 1P1eM|FA1| |AA1|?其中e为该椭圆的离心率， eAA1p为该椭圆的焦准距．由相似形及和分比定理得： |PF1||AF1|?|AP||AF1|?|F1P|e?|PF1|?|AF1|?2|PF1| ??e|AF1||AF1||AF1|ep?|AF1|epp?e|PF1|2|PF1||PF2|2|PF2|所以：??1, 同理可得：??1

|AF1|ep|BF2|epPF1F2B|PF1||PF2|24a4a2所以：??(|PF1|?|PF2|)?2??2?2?2为定值．

|F1A||F2B|epepb

11、解：定义一个方格中填的数大于它所在行至少2011个方格中所填的数，则称此格为行优的． 又每一行中填较小的2011个数的格子不是行优的，得到每行中有n?2011个格子为行优的． 另外，每一个“优格”一定是行优的，所以棋盘中“优格”个数?n(n?2011)． 将棋盘的第i(i?1,2,3,“*”，再将1,2,3,,n)行第i,i?1,,i?2010（大于n时，取模n的余数）列中的格子填入

,2011n填入有“*”的格子，其余的数填入没有“*”的格子．没有“*”的格子

中填的数大于有“*”的格子中填的数，所以，棋盘中没有“*”的格子都是“优格”，共有n(n?2011)个．

容易验证这种填法满足条件，所以“优格”个数的最大值为n(n?2011)个．

A

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R D Q

B

P

C 2013年全国高中数学联赛模拟卷(5)第一试

(考试时间：80分钟 满分：120分)

姓名：_____________考试号：______________得分：____________

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）__________

1. 正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8边长为1，任取两点AiAj，则AiAj?A1A2最大值为__________

20072007i?020072. 若f(x)??(?1)Ckk?0k2007(3?x)?k?axi2007?i，则

?ak?1k＝_________

3. 若关于x的方程x2?(a2?b2?6b)x?a2?b2?2a?4b?1?0的两个实数根x1,x2满足 x2y2

4. 设P双曲线2－2＝1右支上一动点，过P向两条渐近线作垂线，垂足分别为点A,B，若点A,Bab始

终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e的取值范围是___________.

5. 对于实数x，?x?表示不超过x的最大整数。对于某个整数k，恰存在2008个正整数

x1?0?x2?1,则a2?b2?4a?4的最小值为______________, 最大值分别为____________

n1,n2,?,n2008，满足k?k=___________.

)，则?n???n?????n?，并且k整除n(i?1,2,?2008313232008i6. A、B两队进行乒乓球团体对抗赛，每队各三名队员，每名队员出场一次。A队的三名队员是

A1,A2,A3，

i

B队三名队员是B1, B2, B3,，且Ai对Bj的胜率为(1?i, j?3)，A队得分期望的最大可能值是

i+j

________.

7. △ABC的三边长分别为13, 14, 15, 有4个半径同为r的圆O, O1, O2, O3放在△ABC内，并且⊙O1与

边AB、AC相切，⊙O2与边BA、BC相切，⊙O3与边CB、CA相切，⊙O与⊙O1, O2, O3相切, 则r=_________. 8. 设a,b都是正整数，且a?b2?1?2?n?100，则ab的个位数字是__________

二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）

19．已知：实数ai(i?1,2,?,n)满足a?(i?1,2,,n)，证明：

i112(a?1)(a?)(a?)?(1?a?2a??na)

2n(n?1)!i12n12n

210. 已知数列{an}由a?,a?a?a?a,(n?N)确定, 若对于任意n?N*，

3111???M恒成立。求M得最小值。 a?1a?1a?1222*1n?1nn?1112n

x2y2

11. 在双曲线C：4－5＝1中，F1,F2分别为双曲线C的左右两个焦点，P为双曲线上且在第一象限

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内

的点，?PF1F2的重心为G，内心为I. (1) 是否存在一点P, 使得IG||F1F2；

(2) 已知A为双曲线C的左顶点，直线l过右焦点F2与双曲线C交于M，N两点，若AM，AN的

1

斜率k1,k2满足k1?k2?－，求直线l的方程.

2

2013年全国高中数学联赛模拟卷(5)答案

1、解：根据向量内积的几何意义，只要看向量在A1A2方向上的投影即可。最大值为2+1 20072、令x?1得

2007?ak=?(?1)k?0k?0kk20072007kk2007C20072=?C2007(?2)?(1?2)??1，

kk?0k2007k?1k2007k又a0为

?(?1)Ck?0(3?x)展开式中最高次项的系数?1，则?ak??2

222223、解：设f(x)?x?(a?b?6b)x?a?b?2a?4b?1?0，则f(0)?0,f(1)?0，整理得

(a?1)2?(b?2)2?4，且a?b?1?0，在以a,b分别为横轴和纵轴的坐标系中画出上面两个不等式所表示的规划区域。则a2?b2?4a?4?(a?2)2?b2，点(?2,0)到规划区域最小值即为到

直线a?b?1?0的距离

1122，则a?b?4a?4的最小值为距离的平方；点(?2,0)到规划区域

2222最大值为(?2,0)的圆心(?1,2)的距离与半径2的和5?2，则a?b?4a?4的最大值为

(5?2)2=9?45

4、解：由对称性，我们只讨论A在第一象限情形.设P(x0,y0)，A(xA,yA)，则直线PA的方程为

abbaaby?y0??(x?x0)，与y?x联立，得：(?)xA?x0?y0?0?x0??y0.

baabba2b2222x0若P在第一象限显然满足，若P在第四象限或坐标轴上，则y0?0?2x0?y0?b(2?1)，

aaa2b22a2b22所以(2?2)x0??b，只须2?2?0,?a?b,1?e?2

baba335、解：若3n?1?k?3n，则k?n,(k?1)?n，满足k整除n，则n可取

,k?668 k3,k3?k,?k3?3k2?3k，共3k?4个，所以3k?4?2008916、解：讨论可知，A1:B3;A2:B1;A3:B2，最大期望E??

607、解：不妨设a?13,b?14,c?15。可知?ABC与?O1O2O3相似，且O为?O1O2O3的外心，

512外接圆半径为2r，则cos?O1O3O2?cosC?，sin?O1O3O2?，由正弦定理

131348r343356O1O2?4rsin?O1O3O2?,sinB?，同理可得cosA?,sinA?，cosB?，

1355656548r15r260AB1?cosA1?cosB15?15?r??r?15?r，又O1O2?15?rcot?rcot=15?r所以， 13412922sinAsinB4第16页 / 共27页