中数学联赛一试模拟卷（共7套）附详细解答南京廖华答案网

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文章发布时间 : 2024/11/3 0:30:24星期日

2013年全国高中数学联赛模拟卷(3)第一试

(考试时间：80分钟满分：120分)

姓名：_____________考试号：______________得分：____________

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

1、设a, b是两个正整数, 它们的最小公倍数是24·33·72·11, 那么这样的有序正整数对(a, b)有 _ 组.

2、方程16sinπxcosπx＝16x＋的解集合为

3、三棱锥S?ABC是三条侧棱两两垂直的三棱锥，O是底面?ABC内的一点，那么W?tan?OSA?tan?OSB?tan?OSC的最小值是______________

24、对任意x,y?R，代数式M?2x?6x?5?y2?4y?5?2x2?2xy?y2的最小值为________

5、计算：sin?2011sin2?3?sin20112011sin2010??_______________ 20116、篮球场上有5个人在练球，其战术是由甲开始发球（第一次传球），经过六次传球跑动后（中途每人的传球机会均等）回到甲，由甲投3分球，其中不同的传球方式为___________种． 7、对?x,y?R，函数f(x,y)都满足：①f(0,y)?y?1；②f(x?1,0)?f(x,1)； ③f(x?1,y?1)?f(x,f(x?1,y))；则f(3,2011)?__________________ 8、设2n个实数a1,a2,则??(an?1?an?2?,a2n满足条件?(ai?1?ai)2?1

i?12n?1?a2n)?(a1?a2??an)的最大值为________________

二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）

mm?1?2?9．设由不超过1000的两个正整数组成的数对(m,n)满足条件：． n?1n试求所有这样的数对(m,n)的个数．

x2y2

10. P是椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)上任意一点，F1,F2是椭圆的焦点，PF1,PF2分别交椭圆与A,B两点，求证：

|PF1||PF2|是定值． ?|F1A||F2B|

11. 给定大于2011的正整数n，将1,2,3,,n2分别填入n?n的棋盘的方格中，使每个方格恰有一

个数，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2011个方格内所填的数，且大于它所在列至少2011个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”，求棋盘中“优格”个数的最大值．

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2013年全国高中数学联赛模拟卷(3)答案

1、设a?21?32?73?114,b?21?32?73?114, 则有

????????{?1,?1}max?4,{?2,?2}max?3,{?3,?3}max?2,{?4,?4}max?1.

故有序正整数对(a, b)有(2?4?1)(2?3?1)(2?2?1)(2?1?1)=945组.

2、当x＞0时，16x＋?8，（x＝取到等号）而

，(x＝＋k, k∈Z

取到等号), 于是有当x＞0时，方程只有一个解x＝。由于奇函数的性质，可知x＝是方程的另44

一解。

故方程的解集合为{, －} 44

2222223、解：由cos?OSA?cos?OSB?cos?OSC?1，

得sin?OSC?cos?OSA?cos?OSB?2cos?OSA?cos?OSB，同理还有两个不等式，则W?22． 4

M?(x?1)2?(x?2)2?1?(y?2)2?x2?(x?y)2A(1,B2)x,x(，Cy

点A关于直线y?x的对称点为A1(2,1)，关于y轴的对称点为A2(?1,2)，

、

解

：

配

方

得

所以：M?|AB|?|AC|?|BC|?|A1B|?|A2C|?|BC|?|A1A2|?10．

，设

2?2?n?isin ，则z1是方程z?1的根， nn2则1?z?z2?zn?1?(z?z1)(z?z1)(z?z1n?1)，

?2?(n?1)?2011?n?|(1?z1)(1?z12)(1?z1n?1)|?2n?1sinsinsin，令n?2011，则原式＝2010

nnn26、解：设经过n次传球跑动后回到甲的不同传球方式为an（n?2），则an?an?1?4n?1，

5、解：设z1?cos所以 a6?(a6?a5)?(a5?a4)?7、解：由①②③可推出f(1,n)?n?22n?1?(a2?a1)?a1?45?44?43?42?4?820

f(2,n)?2n?3f(3,n)?2n?3?3．f(3,2011)?22014?3 8、解：当n?2时，令x1?a1,xi?1?ai?1?aii?1,2,3,,2n?1

则

?xi?22i?1，ai?x1?x2??xi

?xn)

所以：??n(x1?x2??x2?2x3??(1?2?9、解：由

22?xn)?nxn?1?(n?1)xn?2??x2n?(nx1?(n?1)x2??(n?1)xn?nxn?1?(n?1)xn?2??x2n

?n?2n(2n2?1)． ?1)?x?3i?222n?12imm?1?2? 可得2n?1?m?2(n?1) n?1n对于每个n，在这个范围内的整数个数为[2(n?1)]?[2n?1]?[2(n?1)]?[2n]?1

又7072?1000?7082 ，则n?707, 但当n?707时，m?999,1000 所以：数对(m,n)的总数为

?([n?17062(n?1)]?[2n]?1)?2

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??([2(n?1)]?[2n])?708n?1706

?708?[7072]?[2]?708?999?1?1706

10、证明：如图，

|PF1||?由椭圆的定义知：|PP，|F1M|?p， 1P1eM|FA1| |AA1|?其中e为该椭圆的离心率， eAA1p为该椭圆的焦准距．由相似形及和分比定理得： |PF1||AF1|?|AP||AF1|?|F1P|e?|PF1|?|AF1|?2|PF1| ??e|AF1||AF1||AF1|ep?|AF1|epp?e|PF1|2|PF1||PF2|2|PF2|所以：??1, 同理可得：??1

|AF1|ep|BF2|epPF1F2B|PF1||PF2|24a4a2所以：??(|PF1|?|PF2|)?2??2?2?2为定值．

|F1A||F2B|epepb

11、解：定义一个方格中填的数大于它所在行至少2011个方格中所填的数，则称此格为行优的．又每一行中填较小的2011个数的格子不是行优的，得到每行中有n?2011个格子为行优的．另外，每一个“优格”一定是行优的，所以棋盘中“优格”个数?n(n?2011)．将棋盘的第i(i?1,2,3,“*”，再将1,2,3,,n)行第i,i?1,,i?2010（大于n时，取模n的余数）列中的格子填入

,2011n填入有“*”的格子，其余的数填入没有“*”的格子．没有“*”的格子

中填的数大于有“*”的格子中填的数，所以，棋盘中没有“*”的格子都是“优格”，共有n(n?2011)个．

容易验证这种填法满足条件，所以“优格”个数的最大值为n(n?2011)个．

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