2013年全国高中数学联赛模拟卷(2)第一试

(考试时间：80分钟 满分：120分)

姓名：_____________考试号：______________得分：____________

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

1、某天下午的课程表要排入物理、化学、生物和两节自习共5节课，如果第1节不排生物，最后1节不排物理，那么不同的排课表的方法有__________种.

2、函数f (x)的定义域为D，若满足①f (x)在D内是单调函数，②存在[a, b]?D，使f (x)在[a, b]上的值域为[a, b]，那么y=f (x)叫做闭函数，现有f(x)?_________

3、如图，在△ABC中，cosx?2?k是闭函数，那么k的取值范围是

C25,AH?BC?0,AB?(CA?CB)?0， ?25则过点C，以A、H为两焦点的双曲线的离心率为 _________

4、一个单位正方形的中心和一个圆的圆心重合，并且正方形在圆的内部，

1

在圆上随机选一点，则由该点可以看到正方形的两条完整的边的概率为，则该圆的半径为

2

________

5、有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a，现用一张正方形包装纸将其完全包住(不能裁剪纸，但可以折叠)，那么包装纸的最小边长应为____________． 6、若实数a, b, x, y满足ax?by?3,ax2?by2?7，ax3?by3?16，ax4?by4?42，则

ax5?by5?________

2mm7、设对于任意满足?7的自然数m，则?的最大值为__________ n有不等式7?2??2恒成立，

nnn8、 圆周上有10个等分点，则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的比为

_______

二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分） 9．已知正实数x,y，设a?x?y，b?x2?7xy?y2. （1）当y?1时，求的取值范围；

c2（2）若以a,b为三角形的两边，第三条边长为c构成三角形，求的取值范围.

xyba

210. 已知数列{an}：a1?20,a2?30，an?1?3an?an?1. ⑴ 证明：an?an?1an?1??500 (n?2) ⑵ 求出所有的正整数n，使得5an?1an?1为完全平方数.

a2b2c2d2????4?(a?b)2． 11. 设a,b,c,d为正实数，且a?b?c?d?4．证明：bcda第5页 / 共27页

2013年全国高中数学联赛模拟卷(2)答案

1、由容斥原理知，有

5!4!3!?2???39种. 2222、x?2?k?x在[－2, +∞)有两不等实根． 设x?2?t?[0,??)，则gt()?t2?t?k(?2)?0在

[0, +∞)有两个不等实数根，则??1?4(k?2)?0且g(0)?0解得k???9,?2?． ?4?3、取AB的中点D, 则CA?CB?2AD, 由AB?(CA?CB)?0得AB?AD?0, 即AB?AD. 故△ABC的底边AB上的高线与中线重合. 从而△ABC是等腰三角形. AC=BC. 由AH?BC?0知,

C12?C1C25C52?2?4. AH?BC. 由cos?, 知sin?,tan?，则tanC?C12225251?tan21?()23222tanAH2?CH2=5.

AH4??2. 故以A、H为两焦点的双曲线的离心率为e?AC?CH5?3在Rt△ACH中, 不妨设CH=3, 则AH=4, BC=AC=4、在正方形相邻边所夹的劣弧上，可以看到完整的两条边。而由题设“可以看到正方形的两条完整

1

的边的概率为”，可知延长正方形的边与圆的8个交点将圆周8等分．可以得到圆半径为

2

4?22． 25、将正四棱锥的侧面向外展开到底面，则4个侧面三角形的顶点所构成的正方形即为最小正方形，

2?6a．

233336、因为ax?by?16，所以(ax?by)(x?y)?16(x?y)．

边长为所以(ax?by)?xy(ax?by)?16(x?y)．即42?7xy?16(x?y)??⑴ 因为ax?by?7，所以(ax?by)(x?y)?7(x?y)．

所以(ax?by)?xy(ax?by)?7(x?y)．即16?3xy?7(x?y)??⑵ 由⑴、⑵,解得x?y??14，xy??38．

又因为ax?by?42，所以(ax?by)(x?y)?42(x?y)．

所以(ax?by)?xy(ax?by)?42(x?y)．所以ax?by?42(x?y)?16xy?20． 注：用递归数列也可求解．

227、 原不等式?7n?m??．7n?0?mod7?，m?0,1,2,4?mod7?． ∴?max?3．

22442222223344445533558、任选4点，共有C10?210个凸四边形，其中梯形的两条平行边可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取，也可以从不平行于直径的4条平行弦中选取，除去矩形，梯形共有60个，所以，梯形所占的比为

42． 7(a?1)2?7(a?1)?1ba2?5a?51129???5(?)? 9、解：（1）∵x?a?1，且a?x?1?1 ∴?aaa2a24第6页 / 共27页

b11199?3?又a?x?1?1??(0,1)， 结合二次函数的图像知1??5(?)2??，故的取值范围为?1,?

aaa244?2?bx2?7x?1x2?7x?15x?2?1?2另解：?=1?ax?1x?2x?1x?2x?15x?2?1x，

155x?2??4,0??

14xx?2?x?1?bb3?3??，得的取值范围为?1,?

aa2?2?22?c2?c?(x?y)?x?7xy?y（2）设?k，则c?k?xy恒成立，

，?c?x2?7xy?y2?(x?y)xy???(x?y)?x2?7xy?y2?xyxy?k???2???7?k?xyyxyx??即 ?，? 恒成立，

22xyxyx?7xy?y?(x?y)??k???7???2k???yxyxxy??x111令?t，由于y?t?在?1,???是增函数，令f(t)?t??7?t??2， yttt11则f(t)?t??7?t??2?9?4?5又

ttc2?1?k?5,1?k?25，得的取值范围为?1,25?

xy11t??7?t??2?tt511t??7?t??2tt?1

210、解a1?20,a2?30，a3?70,a4?180. 我们用归纳法证明.an ?an?1an?1??500 (n?2) （*）（1）当n?2时，结论成立.

2（2）假设当n?k(k?2)时，结论成立。即ak?ak?1ak?1??500.

22又由于ak?1?3ak?ak?1.代入上式可得：ak?3akak?1?ak. ??① ?1??500222则当n?k?1时，ak?1?akak?2?ak?1?ak(3ak?1?ak)?ak?1?3akak?1?ak??500（由①）

2故当n?k?1时，结论成立，即（*）式成立.

2又an?1?3an?an?1可知：an. ?1?3anan?1?an??5002则5an?1an?(an?1?an)?500，5an?1an?1?(an?1?an)?501.

22?t2(t?N). 则5an?1an?1[t?(an?1?an)]?(an?1?an?t)?5. 01又an?1?an?N且501?1?501?3?167

设

t2?(an?1?an)2?501. 知：

t?251t?85?an?1?an?t??1?an?1?an?t??3??故?或? 故?或?（舍去）

a?a?t?501a?a?t?167a?a?250a?a?82nnnn?n?1?n?1?n?1?n?1则当n?3时，满足条件.

11.证明 因为a?b?c?d?4，要证原不等式成立，等价于证明

a2b2c2d24(a?b)2????a?b?c?d? ?? ① bcdaa?b?c?d第7页 / 共27页

a2b2c2d2????(a?b?c?d) 事实上，bcdaa2b2c2d2?(?b?2a)?(?c?2b)?(?d?2c)?(?a?2d)

bcda1111?(a?b)2?(b?c)2?(c?d)2?(d?a)2 ??? ② bcda(a?b)2(b?c)2(c?d)2(d?a)2???](a?b?c?d) 由柯西不等式知[bcda?(|a?b|?|b?c|?|c?d|?|d?a|)2 ????? ③ 又由|b?c|?|c?d|?|d?a|?|b?a|知

(|a?b|?|b?c|?|c?d|?|d?a|)2?4(a?b)2 ????④

由②，③，④，可知①式成立，从而原不等式成立．

CD'EQDAPB

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