P

（ii）设从全校大于等于变量， 由题意可知故

，

， ．

分的学生中随机抽取

人，这些人中，周做题时间不少于

小时的人数为随机

【点睛】本题考查独立性检验的应用、分层抽样、离散型随机变量的分布列、二项分布的性质等知识，考查学生分析计算、化简求值的能力，属中档题。 19.如图所示的几何体是由棱台为的菱形，且

，

平面

和棱锥，

拼接而成的组合体，其底面四边形．

是边长

（）求证：平面（）求二面角

平面．

的余弦值．

；

【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】 试题分析： （1）要证明平面

⊥平面

，由面面垂直的判定定理知，需在某个平面上找到某条直线垂直于另一内直线

中，

平面⊥

.要证明，又

平面∴

，又转化为线面垂直问题，平面

.

个平面，通过观察分析，平面

⊥平面

∴

⊥

，菱形

（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面即可得二面角

的余弦值.

平面DFC的法向量，再求出两个法向量的夹角的余弦值，

试题解析： （1）∵在菱形又∵

平面

⊥平面中，

∴∴平面⊥

∴ 平面

⊥

⊥平面

（2）连接、交于点，以为坐标原点，以

，同理

为，

为轴，以为 轴，如图建立空间直角坐标系.

,

设平面

的法向量，则

设平面DFC的法向量

，则

设二面角20.已知椭圆

，为线段

,

的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，离心率为，点

的中点．

（）求椭圆的方程．

（）若过点且斜率不为的直线与椭圆交于、两点，已知直线在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1)【解析】

试题分析: （Ⅰ）求椭圆标准方程，一般方法为待定系数法，即根据条件建立关于与

联立方程组，解出

的两个独立条件，再

，再根据

；(2)点在定直线

上.

与

相交于点，试判断点是否

的值，（Ⅱ）先根据特殊直线或椭圆几何性质确定定直线两点坐标，用

条件证明点横坐标为1.由题意设联立方程组，利用韦达定理得为定值.

试题解析: （Ⅰ）设点又因为椭圆的离心率联立方程①②可得：所以椭圆的方程为

，即，则．

两点坐标表示点横坐标.根据直线方程与椭圆方程

两点坐标关系（用直线斜率表示），并代入点横坐标表达式，化简可得

，由题意可知： ②

，即 ①

（Ⅱ）方法一：根据椭圆的对称性猜测点是与轴平行的直线假设当点为椭圆的上顶点时，直线的方程为则联立直线据此猜想点在直线设

和直线

上，下面对猜想给予证明：

可得：

上． ，此时点 可得点

，

，联立方程

由韦达定理可得因为直线联立两直线方程得即

将（*）代入上式可得

，，

（*） ，

（其中为点的横坐标）即证：，即证

上．

，

此式明显成立，原命题得证．所以点在定直线上

方法二：设，两两不等，

因为三点共线，所以，

整理得：又又

三点共线，有：三点共线，有：

①

② 将①与②两式相除得：

即将解得

（舍去）或

即

，所以点在定直线

， 代入得：上． ，.

，

，

两两不等， ，

.

方法三：显然与轴不垂直，设的方程为由设则

得

由由

三点共线，有：三点共线，有：

① ②

①与②两式相除得：

解得

（舍去）或

，所以点在定直线

上．

点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显