的能力，属中档题。

15.《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥

为鳖臑，

平面

，

，

，三棱锥

的

四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为_____． 【答案】【解析】 【分析】

由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且角三角形，可得

，所以

，因此

平面

，可得

，

．因为

为直

，结合几何关系，可求得外接球的半径

，，代入公式即可求球的表面积。

【详解】本题主要考查空间几何体．

由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且

，

因为因此

，

，

．

平面

，

为直角三角形， 或

（舍）． ，

，

，

所以只可能是此时所以平面又因为

，因此

所在小圆的半径即为，

所以外接球的半径所以球的表面积为

．

，

【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC的长，即得到解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题。 16.抛物线

的焦点为，设

、

是抛物线上的两个动点，若

，再结合几何性质即可求

，则

的最大值为______． 【答案】【解析】

【分析】

由抛物线焦半径公式得可求解。

【详解】解：由抛物线焦半径公式得所以由

，得

，，

，

，

，可得

，结合余弦定理及均值不等式，即

因此，，

，

所以填．

【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，余弦定理与均值定理相结合，意在考查学生的分析推理能力，计算化简能力，属中档题。

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.四边形

如图所示，已知

的值； 与

的面积分别是与，求

，.

（1）求（2）记

的最大值.

【答案】（1）;（2）14. 【解析】 试题分析: (1)在

中,分别用余弦定理,列出等式,得出

是关于 的范围求出

的值; (2)分别求出

的表达式,利用(1)的结果,得到小于第三边,求出试题解析:（1）在在所以

中，

. 的范围,由

中，

的二次函数,利用三角形两边之和大于第三边,两边之差的范围,再求出

的最大值. ，

，

（2）依题意所以

，

，

，

因为解得

，所以，所以

，当

.

时取等号，即

的最大值为14.

名学

18.为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，新苗中学数学教师对新入学的生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于中数学成绩不足

分的占

，统计成绩后，得到如下的

小时的有

人，余下的人中，在高三模拟考试

列联表：

合 分数大于等于分 分数不足分 计 周做题时间不少于周做题时间不足合计

（）请完成上面的

小时 小时 4 19 45 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“高中生的数学成绩

与学生自主学习时间有关”．

（）（i）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于名学生，设抽到的不足

分且周做题时间不足

分和分数不足

分的两组学生中抽取

小时的人数为，求的分布列（概率用组合数算式表示）．

人，求这些人中周做题时间不少于

（ii）若将频率视为概率，从全校大于等于小时的人数的期望和方差． 附：

分的学生中随机抽取

【答案】(1)见解析；(2) （i）见解析 （ii）见解析 【解析】 【分析】

（1）根据比例计算每周自主做数学题的时间不足15小时，且数学分数不足120分的人数，再根据合计数填表。

（2）（i）由分层抽样知大于等于可列出分布列。

（ii）根据二项分布的性质即可计算 【详解】（）

合 分数大于等于分 分数不足分 计 周做题时间不少于周做题时间不足合计 ∵

∴能在犯错误的概率不超过

．

的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．

分的有人，不足

，

分的有人，的可能取值为，，，，．

小时 小时 19 26 45 分的有人，不足

分的有人，的可能取值为，，，，．即

（）（i）由分层抽样知大于等于

，

，

则分布列为 X 0 1 ， ．

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