判定等差数列的方法

本文介绍判定等差数列的方法、目的在于深刻理解等差数列的定义、灵活运用有关知识、为解有关数列的综合题奠定基础、那么怎样判定等差数列呢？

一、定义法

如果一个数列{an}满足an+1－an＝常数、则这个数列叫做等差数列、据此定义、要证数列是等差数列、只需证明an+1－an＝常数、这种方法叫做定义法、

例1 已知数列{an}是等差数列、而数列{bk}的通项公式为

证明 设数列{an}的公差为d、则有

二、通项公式法

大家知道、等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d、反之如果数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d、则数列{an}是等差数列、这样、数列{an}为等差数列的充分必要条件是an＝a1＋(n－1)d、因此通项公式也是判定等差数列的好方法、

求证：数列{bn}是等差数列、

证明 设等比数列{an}的公比是q、由an＞0知q＞0、于是

三、等差中项法

三数a、A、b成等差数列、即2A＝a＋b、A叫a、b等差中项、反之、若2A＝a＋b、则a、A、b成差数列、因此、我们常用后一结论来判定等差数列、

例3 已知x、y、z成等差数列、求证x(y＋z)、y(x＋z)、z(x＋y)也成等差数列、

证明 ∵x(y＋z)＋z(x＋y) ＝xy＋xz＋zx＋zy ＝xy＋zy＋xz(x＋z) ＝xy＋zy＋2yxz(∵2y＝x＋z) ＝y(x＋z＋2xz)＝4y、 而2y(x＋z)＝2y·(2y)＝4y、 ∴x(y＋z)＋y(x＋y)＝2y(z＋x)、

故x(y＋x)、y(z＋x)、z(x＋y)也成等差数列、

有些数列题需要根据上面的方法证明所给数列是等差数列后、再求解、至于证明时选用哪个方法、应因题而异、

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解 因为数列的第k项

大、必须前k项非负、而从第k＋1项起以后各项都是负数、因此k适合下列条件：

由①得k≤14.2、由②得k＞13.2、 所以、13.2＜k≤14.2、

由于k为自然数、故k＝14、即该数列前14项的和最大、