2.2.1 直接证明
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法的证明思路与步骤.(重点) 2.会用综合法、分析法证明一些数学问题.(重点、难点) 3.综合法、分析法的格式区别.(易混点)
[基础·初探]
教材整理 直接证明
阅读教材P46～P48“练习”以上部分，完成下列问题. 直接证明
直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明. 1.综合法
(1)定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.
(2)推证过程：已知条件?…?…?结论. 2.分析法
(1)定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.
(2)推证过程：结论?…?…?已知条件.
1.判断正误：
(1)综合法是直接证明，分析法的过程是演绎推理.( )
(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( ) (3)证明不等式“2＋7<3＋6”最合适的方法是分析法.( )
(4)在解决问题时，可用分析法寻找解题思路，再用综合法展现解题过程.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2.命题“对于任意角θ，cosθ-sinθ＝cos 2θ”的证明过程“cosθ-sinθ＝
4
4
4
4
1
(cosθ-sinθ)(cosθ＋sinθ)＝cosθ-sinθ＝用了________(填“综合法”或“分析法”).
222222
1＋cos 2θ1-cos 2θ
-＝cos 2θ”应
22
【解析】 从证明的过程可知，本题是从已知条件出发证得结果，故为综合法. 【答案】 综合法
3.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件为________.
【导学号：97220017】
b2＋c2-a2222
【解析】 要证∠A为钝角，只需证cos A＝<0即可，也就是b＋c 2bc【答案】 b＋c [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 2 2 2 [小组合作型] 综合法的应用 (1)在△ABC中， 已知cos Acos B>sin Asin B，则△ABC的形状一定是 __________. 122 (2)已知方程(x-mx＋2)(x-nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m-n| 2＝__________. 1ba222 (3)下面的四个不等式：①a＋b＋3≥ab＋3(a＋b)；②a(1-a)≤；③＋≥2；④(a4ab＋b)·(c＋d)≥(ac＋bd).其中恒成立的有__________. 【自主解答】 (1)∵cos Acos B>sin Asin B， ∴cos Acos B-sin Asin B>0， 2 2 2 2 2 ∴cos(A＋B)>0，即cos(π-C)>0，∴cos C<0， π 又0 2(2)设方程的四个根分别为x1，x2，x3，x4，则由题意可知， x1＝，x1x4＝x2x3＝2，∴x4＝4. 设公比为q，则x4＝x1q， 13 ∴4＝·q，∴q＝2，∴x2＝1，x3＝2， 2 93 由根与系数的关系可得，m＝x1＋x4＝，n＝x2＋x3＝3，∴|m-n|＝. 22(3)①a＋b＋3＝＋＋＋＋＋≥2222222(a＋b)(当且仅当a＝b＝3时，等号成立). 1?211?a-②a(1-a)＝-a＋a＝-??＋≤. ?2?44 22 2 2 2 3 12 a23b23a2b2a2b2 2 ×＋22 a23 2 ×＋22 b23 2 ×＝ab＋32 ③当a与b异号时，不成立. ④∵ad＋bc≥2abcd，∴(ac＋bd)＝ac＋bd＋2abcd≤ac＋ad＋bc＋bd＝(a＋b)(c＋d)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立. 3 【答案】 (1)钝角三角形 (2) (3)①②④ 2 1.综合法处理问题的三个步骤 仔细分析题目的已知条件包括隐含条件，分析已知与 分析条件 →结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、 选择方向 公式、结论，确定恰当的解题方法 ↓ 把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是 转化条件 →文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要 组织过程 有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路 ↓ 解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整， 适当调整 →并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法 回顾反思 的选取2.用综合法证明不等式时常用的结论 2 2 222 22 2 22 22 22 22 22 22 2 ?a＋b?2≤a＋b(a，b∈R)； (1)ab≤??2?2? 3 22 (2)a＋b≥2ab(a≥0，b≥0). [再练一题] 1.综合法是( ) A.执果索因的逆推证法 B.由因导果的顺推证法 C.因果分别互推的两头凑法 D.原命题的证明方法 【答案】 B 分析法的应用 设a，b为实数，求证：a＋b≥222(a＋b). 2【精彩点拨】 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键. 【自主解答】 当a＋b≤0时，∵a＋b≥0， ∴a＋b≥ 222 2 2 (a＋b)成立. 2 当a＋b>0时，用分析法证明如下： 要证a＋b≥ 22 2 2 (a＋b)， 2 22 只需证(a＋b)≥? ?2?2 a＋b?， ?2? 12222 即证a＋b≥(a＋b＋2ab)， 2即证a＋b≥2ab. ∵a＋b≥2ab对一切实数恒成立， ∴a＋b≥ 2 2 2 22 2 2 (a＋b)成立. 2 综上所述，不等式成立. 1.当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误. 2.逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解. 4