2018年甘肃省陇南市数学试题

本试卷满分150分(前三大题100分，第四大题50分)．考试时间120分钟．

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的，将此选项的代号填入题后的括号内． 1． 计算：2?9= （ ）

Ａ．5

Ｂ．3

2 Ｃ．?3 Ｄ．?1

2． 分解因式：x?4= （ ） Ａ．(x?4)

2

Ｂ．(x?2) Ｃ．(x?2)(x?2) Ｄ．(x?4)(x?4)

23． 下列图形中，能肯定∠1?∠2的是 （ ） 1 1

1 2 1

Ｏ 2 2 2

A． B． C． D．

4．衡量一组数据波动大小的统计量是 ( ) A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 5．如图，在△ABC中，DE∥BC，若

AD1?，DE＝4， AB3则BC=（ ）

A．9 B．10

C． 11 D．12

6． 如图，P是∠?的边OA上一点，且点P的坐标为（3，4）， 则sin?= ( )

3 B． 53C． D．

4A． 4 54 3A 7． 顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 ( ) A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 8．不等式组??x?1?0，的解集是 ( )

?3?x?0Ａ． x?3 Ｂ． x??1 Ｃ．x?3 Ｄ．?1?x?3 9．如图，下列图形中，每个正方形网格都是由边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分面积最大的是 （ ）

A. B. C. D.

10．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，AC是弦， AC=23，∠AOC= （ ） A．120° B．1300 C．140° D．150°

二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．将答案写在题中的横线上． 11． 方程x2?3x?2?0的根是 ．

12．如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第6个图案中灰色瓷砖块数为_________．

第1个图案 第2个图案 第3个图案

13．你吃过兰州拉面吗？实际上在做拉面的过程中就 渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面， 面条的总长度у（cm）是面条粗细（横截面 积）x（cm2）的反比例函数，假设其图象如图所示， 则у与x的函数关系式为__________ ．

14．一养鱼专业户从鱼塘捕得同时放养的草鱼100条，他从中任选5条，称得它们的质量如下（单位：kg）：1.3， 1.6， 1.3， 1.5， 1.3．则这100条鱼的总质量约为 kg． 15．某商店一套西服的进价为300元，按标价的80%销售可获利100元，若设该服装的标

价为x元，则可列出的方程为 ． 16．如图，在△ABC中，∠A=90，分别以B、C为圆心的两个等圆外切，两圆的半径都为

1cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．

第16题图 第17题图 第18题图

17．如图，D、E为△ABC两边AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=55°，则∠BDF= ．

18．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=300，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，开始时，PO=6cm．如果⊙P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t（秒）满足条件 时，⊙P与直线CD相交． 三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程

或验算步骤．

19．(6分)计算：12?4cos30?(?2)．

20． (6分)解方程：

3x?1x?2?12?x?3．

21．（8分)从某市近期卖出的不同面积的商 品房中随机抽取1000套进行统计，并根据结果

绘出如图所示的统计图，请结合图中的信息，解答下列问题： （1）卖出面积为110130m的商品房

有 套，并在右图中补全统计图；

（2）从图中可知，卖出最多的商品房约

%; 占全部卖出的商品房的

（3）假如你是房地产开发商，根据以上提

供的信息，你会多建住房面积在什么范围内的住房？为什么？

22．(8分)如图，在△ABC 中，AB=AC，D是BC边上的一点，

DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，添加一个条件，使DE= DF， 并说明理由．

解： 需添加条件是 ． 理由是：

23．(10分) 如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，

解答下列问题：

（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式； （2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？

2

四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程

或验算步骤． 24．(8分)如图，小明想测量塔BC的高度．他在楼底A处测得塔顶B的仰角为60；爬到楼顶D处测得大楼AD的高度为18米，同时测得塔顶B的仰角为30，求塔BC的高度．

25．（10分）“中山桥”是位于兰州市中心、横跨黄河之上的一座百年老桥（图1）．桥上有五

个拱形桥架紧密相联，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个垂直于横梁的立柱，气势雄伟，素有“天下黄河第一桥”之称．

如图2，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1 和其上方的抛物线D1OD8组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知跨度AB＝44m，∠A＝45°，AC1=4m， D2的坐标为（?13，?1.69），求： （1）抛物线D1OD8的解析式； （2）桥架的拱高OH ．

图1 图2

26．(10分)如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG． （1）求证：AE=CG；

（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，

并证明你的猜想．

27．(10分)如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交

△ ABC的外接圆于点D，交BC边于点E． （1）求证：ID=BD；

DE?y，（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD?x，

当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，

并指出自变量x的取值范围．

128．(12分)如图，抛物线y?x2?mx?n交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点P是它的

2顶点，点A的横坐标是?3，点B的横坐标是1．

(1)求m、n的值； (2）求直线PC的解析式；

(3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线

PC的位置关系，并说明理由．(参考数：2?1.41，3?1.73，5?2.24)

附加题：（10分）如果你的全卷得分不足150分，则本题的得分将计入总分，但计入总分后

全卷不得超过150分． 1．（5分）解方程x(x?1)=2． 有学生给出如下解法： ∵ x(x?1)=2=1×2=（?1）×（?2），

?x?1,?x?2,?x??1,?x??2,∴ ?或?或?或?

x?1?2;x?1?1;x?1??2;x?1??1.????解上面第一、四方程组，无解；解第二、三方程组，得 x=2或x=?1． ∴ x=2或x=-?1．

请问：这个解法对吗？试说明你的理由．

2． (5分) 在平面几何中，我们可以证明：周长一定的多边形中，正多边形面积最大． 使用上面的事实，解答下面的问题：

用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的五根木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求能够围成的三角形的最大面积．

2018年甘肃省陇南市数学试题参考答案与评分标准

一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）

题号 答案

1 D

2 C

3 C

4 D

5 D

6 B

7 A

8 B

9 D

10 A

二、填空题(8小题，每小题4分，共32分)

11．1，2 12．14 13．y?15．80%x?300?100 16．

128，x>0 14．140 x1π 17．70o 18．4?t?8 4说明：第13小题，不写x>0，不扣分． 三、解答题（一）(5小题，共38分) 19． 本小题满分6分

3?(?8) ………………………………………3分 2?23?23?8 ………………………5分

=?8． ……………………………………6分

20． 本小题满分6分

解：原式=23?4?解：原方程即

x?1x?2?1x?2?3， …………………………1分

方程两边都乘以(x?2)，得x?1?1?3(x?2) …………………3分

∴x?2． …………………………………5分

经检验x?2是原方程的增根，

∴ 原方程无解． ……………………………6分 21．本小题满分8分

解：（1）150． ……………………2分

………………4分

（2）45． ………………………6分

（3）需多建住房面积在90～110m2范围的住房．因为需此面积范围住房的人较多，容易卖出去．……………………………8分 22． 本小题满分8分

解： 需添加的条件是：BD=CD，或BE=CF． ………………2分

添加BD=CD的理由：

如图，∵ AB=AC，∴∠B=∠C． …………………4分 又∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BDE=∠CDF． …………………6分 ∴ △BDE≌△CDF (ASA)．

∴ DE= DF． ………8分 添加BE=CF的理由： 如图，∵ AB=AC，

∴ ∠B=∠C． ………………4分

∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD． …………6分 又∵ BE=CF， ∴ △BDE≌△CDF (ASA)．

∴DE= DF． ……………………8分 23． 本小题满分10分

解：（1）设y?kx?b． …………2分

由图可知：当x?4时，y?10.5；当x?7时，y?15． ……………4分

?10.5?4k?b, 把它们分别代入上式，得 ? ………………6分

?15?7k?b.解得k?1.5，b?4.5．

∴ 一次函数的解析式是y?1.5x?4.5． ……………8分 说明：只要求对k?1.5，b?4.5，不写最后一步，不扣分． (2)当x?4?7?11时，y?1.5?11?4.5?21．

即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是21cm． ……………10分 说明：只要求对y=21，不写最后一步，不扣分． 四、解答题（二）(5小题，共50分) 24． 本小题满分8分 解： 如图，设BE?x米．

在Rt△BDE中， ∵ tan30?x1BE?， ∴． ………2分 DEDE3

∴ DE?3x． ………………………3分

∵ 四边形ACED是矩形，

∴ AC?DE?3x，CE?AD?18． 在Rt△ABC中， ∵ tan60?x?18BC， ∴?3． ………………………5分 AC3x∴ x?9． ………………………………………7分

∴ BC?BE?CE?9?18?27(米)． ……………………………8分

25．本小题满分10分

图1 图2

解：（1）设抛物线D1OD8的解析式为y?ax ． …………………………2分

将x=?13，y=?1.69代入，解得 a=?∴ 抛物线D1OD8的解析式为y=?21

． 100

12

x． ………………………4分 100

说明：只要求对a=?1，不写最后一步，不扣分． 100（2） ∵ 横梁D1D8=C1C8=AB-2AC1=36m，

∴ 点D1的横坐标是-18． ………………………6分 代入y=?12

x，得y=?3.24， ………………………8分 100又∵ ∠A＝45°，∴ D1C1=AC1=4m．

∴ OH=3.24+4=7.24m． ………………………………………10分

26． 本小题满分10分

(1) 证明： 如图，

∵ AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90o， 又 ∠CDG=90o +∠ADG=∠ADE， ……………2分

∴ △ADE≌△CDG． ………………………4分

∴ AE=CG． …………………………5分 （2）猜想： AE⊥CG． …………………………6分 证明： 如图，

设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N． …………………… 7分 ∵ △ADE≌△CDG， ∴ ∠DAE=∠DCG． ……………………8分 又∵ ∠ANM=∠CND， ∴ △AMN∽△CDN． …………………9分 ∴ ∠AMN=∠ADC=90o．

∴ AE⊥CG． ……………………………10分 27． 本小题满分10分

(1) 证明： 如图， ∵ 点I是△ABC的内心，

∴ ∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI． ………………2分 ∵ ∠CBD=∠CAD，

∴ ∠BAD=∠CBD． ……………………………3分 ∴ ∠BID=∠ABI+∠BAD =∠CBI+∠CBD=∠IBD．

∴ ID=BD． ………………………5分 (2)解：如图，

∵∠BAD=∠CBD=∠EBD， ∠D=∠D，

∴ △ABD∽△BED． …………………………7分 ∴

BDAD． ∴ AD?DE?BD2?ID2． …………………8分 ?DEBD∵ ID=6，AD=x，DE=y，∴ xy=36． ………………9分

又∵ x=AD>ID=6， AD不大于圆的直径10， ∴ 6

∴ y与x的函数关系式是y?36．（6?x≤10） …………………………10分 x说明：只要求对xy=36与6

1解： (1)由已知条件可知： 抛物线y?x2?mx?n经过A(-3，0)、B(1，0)两点．

29?0??3m?n,??2∴ ? ……………………………………2分

1?0??m?n.??23解得 m?1,n??． ………………………3分

2133 (2) ∵y?x2?x?， ∴ P(-1，-2)，C(0,?)． …………………4分

222??2??k?b,?13设直线PC的解析式是y?kx?b，则?3 解得k?,b??．

b??.22??213∴ 直线PC的解析式是y?x?． …………………………6分

2213说明：只要求对k?，b??，不写最后一步，不扣分．

22 (3) 如图，过点A作AE⊥PC，垂足为E．

设直线PC与x轴交于点D，则点D的坐标为(3，0)． ………………………7分 3在Rt△OCD中，∵ OC=，OD?3，

2∴ CD?()2?32?3235． …………8分 2∵ OA=3，OD?3，∴AD=6． …………9分 ∵ ∠COD=∠AED=90，∠CDO公用， ∴ △COD∽△AED． ……………10分

335OCCD622?∴ ， 即． ∴ AE??5． …………………11分

AE6AEAD5o

∵

6552.688?2.5，

∴ 以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离． …………12分 附加题：本大题满分10分 1． 答案一：

对于这个特定的已知方程，解法是对的． ……………2分

理由是：一元二次方程有根的话，只能有两个根，此学生已经将两个根都求出来了，所以对． ………………………………………………5分 答案二：

解法不严密，方法不具有一般性．………………2分

理由是：为何不可以2=3×等，得到其它的方程组？此学生的方法只是巧合了，求对了方程的根． ………………………5分

2． 解：因为周长一定（2+3+4+5+6=20cm）的三角形中，以正三角形的面积最大． 取三边尽量接近，使围成的三角形尽量接近正三角形，则面积最大． …………2分 此时，三边为6、5+2、4+3，这是一个等腰三角形．………………3分 可求得其最大面积为610. ……………………………………5分

23