即2x-y-3z=0
46. 求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的单位向量. 解：n1={3,-1,7}, n2={1,-1,2}.
n?n1,n?n2
故n?n?17733?11?n2??12i?21j?1?1k?5i?j?2k
则en??130(5i?j?2k). 47. 求下列直线与平面的交点：
(1) x?11?y?1?2?z6, 2x+3y+z-1=0; (2) x?22?y?13?z?32, x+2y-2z+6=0. ?x?1?t解：（1）直线参数方程为??y??1?2t
??z?6t代入平面方程得t=1 故交点为（2，-3，6）.
?x?（2） 直线参数方程为??2?2t?y?1?3t
??z?3?2t代入平面方程解得t=0. 故交点为（-2，1，3）. 48. 求下列直线的夹角：
（1）??5x?3y?3z?9?0??3x?2y?z?1? 和
?2x?2y?z?23?03x?8y?z?18?；00 ?（2）x?2?y?3z?84?y?3z?1???12?3 和 ???1?2 ?x?1解：（1）两直线的方向向量分别为：
ijks1={5, -3,3}×{3, -2,1}=5?33={3,4, -1}
3?21ijks2={2,2, -1}×{3,8,1}=22?1={10, -5,10}
381
165
由s1·s2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s1⊥s2
π从而两直线垂直，夹角为.
2?y?3z?8?x?2y?3z?1???(2) 直线的方向向量为s1={4, -12,3},直线??1?2的方4?123??x?1?2y?z?2?0程可变为?,可求得其方向向量s2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于
?x?1?0是
s1?s26cos????0.2064 s1?s2135??78?5?49. 求满足下列各组条件的直线方程： （1）经过点（2，-3，4），且与平面3x-y+2z-4=0垂直； （2）过点（0，2，4），且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行；
xy?3z?1?（3）过点（-1，2，1），且与直线?平行.
2?13解：（1）可取直线的方向向量为 s={3，-1，2}
故过点（2，-3，4）的直线方程为
x?2y?3z?4?? 3?12（2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n1与n2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量
ijks?n1?n2?102?{?2,3,1}
01?3故过点（0，2，4）的直线方程为
xy?2z?4?? ?231（3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s={2，-1，3}
故过点（-1，2，1）的直线方程为
x?1y?2z?1??. 2?1350. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：
x?3y?4z??和4x-2y-2z=3; （1）?2?73xyz?和3x-2y+7z=8; （2）?3?27
166
x?2y?2z?3??和x+y+z=3. 31?4解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s={-2，-7，3} 平面的法向量n={4，-2，-2}，所以
（3）
s?n?(?2)?4?(?7)?(?2)?3?(?2)?0
于是直线与平面平行.
又因为直线上的点M（-4，0）代入平面方程有4?(?3)?2?(?4)?2?0??4?3.0-3，故直线不在平面上.
(2) 因直线方向向量s等于平面的法向量，故直线垂直于平面.
(3) 直线在平面上，因为3?1?1?1?(?4)?1?0,而直线上的点（2，-2，3）在平面上.
51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线
?x?2y?z?3?0 ??x?y?z?3?0的平面方程.
ijk解：直线的方向向量为1?21?i?2j?3k,
11?1取平面法向量为{1，2，3}，
故所求平面方程为1?(x?1)?2(y?2)?3(z?1)?0
即x+2y+3z=0.
52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x-3y+z=3, x+3y+2z+1=0的交线的平面方程. 解：设过两平面的交线的平面束方程为2x?3y?z?3??(x?3y?2z?1)?0 其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3） 故2?1?3?(?2)?3?3??(1?3?(?2)?2?3?1)?0
解得λ=-4.
故所求平面方程为
2x+15y+7z+7=0
53. 求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影.
解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即
s=n={1，2，-1}
?x??1?t?
所以垂线的参数方程为?y?2?2t
?z??t?
167
将其代入平面方程可得(-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0
2得t??
3522于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点(?,,)
333?x?y?z?1?054. 求点（3，-1，2）到直线?的距离.
2x?y?z?4?0?解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方
向向量
ijk即n?s?11?1??3j?3k
2?11故过已知点的平面方程为y+z=1.
?x?y?z?1?0?联立方程组?2x?y?z?4?0
?y?z?1?13解得x?1,y??,z?.
2213即(1,?,)为平面与直线的垂足
221332于是点到直线的距离为d?(1?3)2?(??1)2?(?2)2?.
22255. 求点（1，2，1）到平面x+2y+2z-10=0距离.
解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s=n={1，2，2}
?x?1?t?
所以垂线的参数方程为?y?2?2t
?z?1?2t?
将其代入平面方程得t?1. 3485122故垂足为(,,)，且与点（1，2，1）的距离为d?()2?()2?()2?1
333333即为点到平面的距离.
56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程. 解：球的半径为R?12?32?(?2)2?14.
设(x,y,z)为球面上任一点，则(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14 即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0为所求球面方程.
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