31. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积. 解：设四顶点依次取为A, B, C, D.

AB?{0,1,2}, AD?{2,?2,1}

则由A，B，D三点所确定三角形的面积为

S1?1135. |AB?AD|?|5i?4j?2k|?2221同理可求其他三个三角形的面积依次为,2,3. 2故四面体的表面积S?135. ?2?3?2232.解：设四面体的底为?BCD，从A点到底面?BCD的高为h，则 1 V??SBCD?h，

3119 而SBCD?BC?BD??4i?j?8k?

222 又?BCD所在的平面方程为:4x?y?8z?15?0 则h?4?1?8?154?

16?1?643194 故V????2

32333. 已知三点A(2,4,1), B(3,7,5), C(4,10,9)，证：此三点共线.

证明：AB?{1,3,4},AC?{2,6,8} 显然AC?2AB

则AB?AC?AB?2AB?2(AB?AB)?0

故A，B，C三点共线.

34. 一动点与M0(1,1,1)连成的向量与向量n=(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程. 解：设动点为M(x, y, z)

M0M?{x?1,y?1,z?1} 因M0M?n,故M0M?n?0.

即2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0

整理得：2x+3y-4z-1=0即为动点M的轨迹方程. 35. 求通过下列两已知点的直线方程： （1） （1，-2，1）， （3，1，-1）； （2） （3，-1，0），（1，0，-3）.

161

解：（1）两点所确立的一个向量为

s={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}

故直线的标准方程为： x?1y?2z?1x?3y?1z?1???? 或 23?223?2（2）直线方向向量可取为

s={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}

故直线的标准方程为： x?3y?1zx?1yz?3???? 或 ?21?3?21?3?2x?3y?z?4?036. 求直线?的标准式方程和参数方程.

3x?5y?2z?1?0?解：所给直线的方向向量为 s?n1?n2?3?1?1223i?j?k?i?7j?19k

?52233?5另取x0=0代入直线一般方程可解得y0=7,z0=17

于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:

xy?7z?17?? 1?7?19且直线的参数方程为：

?x?t??y?7?7t ?z?17?19t?37. 求过点(4,1,-2)且与平面3x-2y+6z=11平行的平面方程. 解：所求平面与平面3x-2y+6z=11平行 故n={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)

故所求平面方程为：3(x-4)-2(y-1)+6(z+2)=0 即3x-2y+6z+2=0.

38. 求过点M0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M0的线段OM0垂直的平面方程. 解：所求平面的法向量可取为n?OM0?{1,7,?3}

故平面方程为：x-1+7(y-7)-3(z +3)=0 即x+7y-3z-59=0

39. 设平面过点(1,2,-1)，而在x轴和z轴上的截距都等于在y轴上的截距的两倍，求此平面方程.

解：设平面在y轴上的截距为b

xyz?1 则平面方程可定为??2bb2b又(1,2,-1)在平面上，则有 12?1???1 2bb2b

162

得b=2.

xyz故所求平面方程为???1

42440. 求过(1,1,-1), (-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程. 解：由平面的三点式方程知

x?x1x2?x1x3?x1y?y1y2?y1y3?y1z?z1z2?z1?0 z3?z1x?1y?1z?1代入三已知点，有?2?1?2?12?1?0

1?1?1?12?1化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程.

41. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形： (1) y =0; (2) 3x-1=0; (3) 2x-3y-6=0; (4) x – y =0; (5) 2x-3y+4z=0.

解：(1) y =0表示xOz坐标面（如图7-2） (2) 3x-1=0表示垂直于x轴的平面.(如图7-3)

图7-2 图7-3

(3) 2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分别为x=3和y =-2的平面.(如图7-4)

(4) x –y=0表示过z轴的平面（如图7-5）

(5) 2x-3y+4z=0表示过原点的平面（如图7-6）.

图7-4 图7-5 图7-6 42. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x+y-z=0的平面. 解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0 则其法向量为n={A,B,C}

已知平面法向量为n1={1,1,-1}

163

过已知两点的向量l={1,1,1} 由题知n·n1=0, n·l=0

即??A?B?C?0?A?B?C?0 ?C?0, A??B. 所求平面方程变为Ax-Ay+D=0

又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0 故平面方程为x-y=0.

43. 决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件： （1）经过点（5，-4，6）； （2） 与平面2x-3y+z=0成π4的角. 解：（1） 因平面过点（5，-4，6） 故有 5-4k-2×6=9 得k=-4.

（2） 两平面的法向量分别为 n1={1,k,-2} n2={2,-3,1} 且cos??n1?n2?|n?3k?π2 1||n2|5?k2?14cos4?2解得k??702 44. 确定下列方程中的l和m:

(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行; (2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直. 解：（1）n1={2,l,3}, n2={m,-6,-1}

n?2m?l?6?3?1?m??21n23,l?18

(2) n1={3, -5, l }, n2={1,3,2}

n1?n2?3?1?5?3?l?2?0?l?6.

45. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面. 解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0 其法向量n={A,B,C}

n1={1,-1,1}, n2={2,1,1}

?n?n1?A?B?C?0?A??2Cn?n?B?C?0???3

2?2A?C??B?3又（1，－1，1）在所求平面上，故A－B+C+D=0，得D=0

故所求平面方程为 ?23Cx?C3y?Cz?0

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