习题七

1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).

解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；

点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.

2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0;

在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0.

3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0;

y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0.

4. 求下列各对点之间的距离： （1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）. 解：（1）s?22?32?42?29 (2) s?22?(?3)2?(?4)2?29 (3) s?(1?2)2?(0?3)2?(3?4)2?67 (4) s?(?2?4)2?(1?2)2?(3?3)2?35. 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.

2?5 2故 s0?42?(?32)?5sx?(4?4)2?(?3?0)2?(5?0)2?34 sy?42?(?3?3)2?52?41 sz?42?(?3)2?(5?5)2?5.

6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.

解：设此点为M（0，0，z），则

(?4)2?12?(7?z)2?32?52?(?2?z)2 解得 z?14 9 153

14）. 97. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.

证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形.

即所求点为M（0，0，

8. 验证：(a?b)?c?a?(b?c). 证明：利用三角形法则得证.见图7-1

图7-1

9. 设u?a?b?2c, v??a?3b?c.试用a, b, c表示2u?3v. 解：

2u?3v?2(a?b?2c)?3(?a?3b?c)?2a?2b?4c?3a?9b?3c ?5a?11b?7c10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接，试以AB?c，BC?a表示向量D1A,D2A,D3A和D4A.

1解：D1A?BA?BD1??c?a

52D2A?BA?BD2??c?a

53D3A?BA?BD3??c?a

54D4A?BA?BD4??c?a.

511. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M的投影为M?，则

1PrjuOM?OMcos60??4??2.

212. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.

解：设此向量的起点A的坐标A(x, y, z)，则

AB?{4,?4,7}?{2?x,?1?y,7?z}

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解得x=-2, y=3, z=0

故A的坐标为A(-2, 3, 0).

13. 一向量的起点是P1（4，0，5），终点是P2（7，1，3），试求： （1） PP12在各坐标轴上的投影； （2） PP12的模；

（3） PP12的方向余弦； （4） PP12方向的单位向量. 解：（1）ax?PrjxPP12?3, ay?PrjyPP 12?1, az?PrjzPP12??2.

(2) PP(7?4)2?(1?0)2?(3?5)2?14 12?(3) cos??axPP12?3 14 cos??ayPP12azPP12?1 14?2. 14 cos???(4) e0?PP12PP12?{31?2312,,}?i?j?k. 14141414141414. 三个力F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R的大

小和方向余弦.

解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）

|R|?22?12?42?21

cos??214, cos??, cos??. 21212115. 求出向量a= i +j+k, b=2i-3j+5k和c =-2i-j+2k的模，并分别用单位向量

ea,eb,ec来表达向量a, b, c. 解：|a|?12?12?12?3 |b|?22?(?3)2?52?38 |c|?(?2)2?(?1)2?22?3

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a?3ea, b?38eb, c?3ec.

16. 设m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k, p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.

解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k 在x轴上的投影ax=13,在y轴上分向量为7j. 17.解：设a?{ax,ay,az}则有

?a?i cos??axa(?3a?i 求得ax?1. 2i1?, 1) 设a在xoy面上的投影向量为b则有b?{ax,ay,0}

2ax2?ay2 则cos? ??224a?b2ax?ay?a?b2? 则ay11 求得ay?? 42222 又a?1,则ax?ay?az?1

112112 从而求得a?{,,?}或{,?,?}

22222218. 已知两点M（5，-3），M（-2，5），点M在线段M1M2上，且M1M?3MM2，12，23，求向径OM的坐标. 解：设向径OM={x, y, z}

M1M?{x?2,y?5,z?3}MM2?{3?x,?2?y,5?z}

因为，M1M?3MM2

11?x??4?x?2?3(3?x)?1??所以，?y?5?3(?2?y) ? ?y??

4?z?3?3(5?z)???z?3?? 156