I?cos??2m?v?vB??

(4)

因为B、C之间的杆不能伸、缩，因此B、C沿杆的方向的分速度必相等．故有

vCsin??vB?cos??vBsin? 由以上五式，可解得

3?sin2?I?mv 1?3sin2?(5)

(6)

评分标准：

本题20分． (1)、(2)、(3)、(4)式各2分． (5)式7分，(6)式5分．

七、解法Ⅰ：

当金属杆ab获得沿x轴正方向的初速v0时，因切割磁力线而产生感应电动势，由两金属杆与导轨构成的回路中会出现感应电流．由于回路具有自感系数，感应电流的出现，又会在回路中产生自感电动势，自感电动势将阻碍电流的增大，所以，虽然回路的电阻为零，但回路的电流并不会趋向无限大，当回路中一旦有了电流，磁场作用于杆ab的安培力将使ab杆减速，作用于cd杆的安培力使cd杆运动．

设在任意时刻t，ab杆和cd杆的速度分别为v1和v2（相对地面参考系S），当v1、v2为正时，表示速度沿x轴正方向；若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向，则因两杆作切割磁力线的运动而产生的感应电动势

E?Bl?v1?v2?

(1)

当回路中的电流i随时间的变化率为?i?t时，回路中的自感电动势

EL??L

?i ?t(2)

根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有

E?EL?0

(3)

金属杆在导轨上运动过程中，两杆构成的系统受到的水平方向的合外力为零，系统的质心作匀速直线运动．设系统质心的速度为VC，有 mv0?2mVC

(4)

得

VC?v0 2(5)

VC方向与v0相同，沿x轴的正方向．

现取一新的参考系S?，它与质心固连在一起，并把质心作为坐标原点O?，取坐标轴O?x?与x轴平行．设相对S?系，金属杆ab的速度为u，cd杆的速度为u?，则有 v1?VC?u v2?VC?u?

(6) (7)

因相对S?系，两杆的总动量为零，即有

mu?mu??0

(8)

由(1)、(2)、(3)、(5)、(6) 、(7) 、(8)各式，得

2Blu?L?i ?t(9)

在S?系中，在t时刻，金属杆ab坐标为x?，在t＋t时刻，它的坐标为x???x?，则由速度的定义

u??x? ?t(10)

代入 (9) 式得

2Bl?x??L?i

(11)

若将x?视为i的函数，由（11）式知?x??i为常数，所以x?与i的关系可用一直线方程表示

x??Li?b 2Bl(12)

式中b为常数，其值待定．现已知在t＝时刻，金属杆ab在S?系中的坐标x?＝故得

1= 0，x0，这时i 2x??L1i?x0 2Bl22Bl?1??x??x0? L?2?(13)

或i?(14)

1?1?x0表示t＝时刻金属杆ab的位置．x?表示在任意时刻t，杆ab的位置，故?x??x0?就是

2?2?杆ab在t时刻相对初始位置的位移，用X表示， X?x??1x0 2(15)

当X>0时，ab杆位于其初始位置的右侧；当X<0时，ab杆位于其初始位置的左侧．代入(14)式，得 i?2BlX L(16)

这时作用于ab杆的安培力 2B2l2F??iBl??X

L(17)

ab杆在初始位置右侧时，安培力的方向指向左侧；ab杆在初始位置左侧时，安培力的方向指向右侧，可知该安培力具有弹性力的性质．金属杆ab的运动是简谐振动，振动的周期

T?2π?m 222BlL?(18)

在任意时刻t， ab杆离开其初始位置的位移 ?2π?X?Acos?t???

?T?(19)

A为简谐振动的振幅，为初相位，都是待定的常量．通过参考圆可求得ab杆的振动速度

?2π??2π??sin?t??? ?T??T? u??A?(20)

(19)、(20)式分别表示任意时刻ab杆离开初始位置的位移和运动速度．现已知在t＝0时刻，ab杆位于初始位置，即 X = 0 速度

11 u?v0?VC?v0?v0?v0

22故有

0?Acos?

v0?2π???A??sin? 2?T?

解这两式，并注意到(18)式得

??3π2

v0vT?04?2Bl (21)

mL (22) 2A?