(精编)2020年高考数学一轮总复习专题32简单的递推数列检测文 下载本文

专题32递推数列

【学习目标】

了解递推公式是给出数列的一种方法,掌握几种简单的将递推数列问题转化化归为特殊数列(等差数列、等比数列等)的方法与途径,从而培养并提升学生的转化化归思想和能力. 【知识要点】

1.递推数列的概念

如果已知数列{an}的第1项(或前k项),且任一项an与它的前一项(或前若干项)间的关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的______________;由递推公式确定的数列叫做递推数列.

2.已知数列的递推关系求通项

一般有三种途径:一是归纳、猜想,二是转化化归为等差、等比数列;三是逐项迭代. 【方法总结】

递推数列求通项的特征归纳: (1)累加法:an+1-an=f(n). an+1(2)累乘法:=f(n).

an

(3)化归法:(常见)an+1=Aan+B(A≠0,A≠1)?an+1+λ=A(an+λ);an+2=pan+1+qan?an+2+λan+1

=(p+λ)·(an+1+λan);an+1=pan+p

n+1

?

an+1an

n+1=n+1. pp

(4)归纳法:计算a2,a3,a4呈现关于项数2,3,4的规律特征. (5)迭代法:an+1=pan或an+1=an或an+1=pan+f(n)等.

【高考模拟】一、单选题

p

1.已知数列满足,若

恒成立,则的最小值为( )

,,

A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】

1

相消法可得结果. 【详解】

,可得,利用裂项

由题意知,,由,

得,

恒成立,

【点睛】

裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1)

;(4)

;(2)

; (3)

;此外,需注意裂

,故最小值为,故选D.

项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误. 2.(2017·保定市一模)已知函数

是定义在上的奇函数,当

时,

,若数列

满足

,且,则( )

A. 2 B. -2 C. 6 D. -6 【答案】C 【解析】 【分析】

是周期数列且周期为,因此

,利用题设的函数解析式可求函数值.

2

【点睛】

(1)当从数列的递推关系无法求通项时,可以从先计算数列的若干初始项,找出规律后可得通项(必要时用数学归纳法证明). (2)对于奇函数为

3.已知数列A. 数列

).

的前项和为的前项和为

,且满足 B. 数列

的通项公式为

,则下列说法正确的是( )

(或偶函数),若已知

的解析式,则当

的时的解析为

(偶函数时

C. 数列【答案】C 【解析】 【分析】

为递增数列 D. 数列是递增数列

方法一:根据数列的递推公式可得{}是以5为首项,以5为等差的等差数列,可得Sn=,

an=,即可判断,

3

方法二:当n=1时,分别代入A,B,可得A,B错误,当n=2时,a2+5a1(a1+a2)=0,即a2++a2=0,可得a2=﹣

,故D错误,

【详解】

方法一:∵an+5Sn﹣1Sn=0, ∴Sn﹣Sn﹣1+5Sn﹣1Sn=0, ∵Sn≠0,

∴﹣=5,

∵a1=,

∴=5,

∴{}是以5为首项,以5为等差的等差数列,

∴=5+5(n﹣1)=5n,

∴Sn=,

当n=1时,a1=, 当n≥2时, ∴an=Sn﹣Sn﹣1=

=

∴an=

故只有C正确,

方法二:当n=1时,分别代入A,B,可得A,B错误, 当n=2时,a2+5a1(a1+a2)=0,即a2++a2=0,可得a2=﹣,故D错误,

故选:C. 【点睛】

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