专题32递推数列

【学习目标】

了解递推公式是给出数列的一种方法，掌握几种简单的将递推数列问题转化化归为特殊数列(等差数列、等比数列等)的方法与途径，从而培养并提升学生的转化化归思想和能力． 【知识要点】

1．递推数列的概念

如果已知数列{an}的第1项(或前k项)，且任一项an与它的前一项(或前若干项)间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的______________；由递推公式确定的数列叫做递推数列．

2．已知数列的递推关系求通项

一般有三种途径：一是归纳、猜想，二是转化化归为等差、等比数列；三是逐项迭代． 【方法总结】

递推数列求通项的特征归纳： (1)累加法：an＋1－an＝f(n). an＋1(2)累乘法：＝f(n).

an

(3)化归法：(常见)an＋1＝Aan＋B(A≠0，A≠1)?an＋1＋λ＝A(an＋λ)；an＋2＝pan＋1＋qan?an＋2＋λan＋1

＝(p＋λ)·(an＋1＋λan)；an＋1＝pan＋p

n＋1

?

an＋1an

n＋1＝n＋1. pp

(4)归纳法：计算a2，a3，a4呈现关于项数2，3，4的规律特征. (5)迭代法：an＋1＝pan或an＋1＝an或an＋1＝pan＋f(n)等.

【高考模拟】一、单选题

p

1．已知数列满足，若

，

恒成立，则的最小值为（ ）

，，

A． 0 B． 1 C． 2 D． 【答案】D 【解析】 【分析】

1

由

相消法可得结果. 【详解】

，可得，利用裂项

由题意知，，由，

得，

，

恒成立，

【点睛】

裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)

；（4）

；（2）

； （3）

；此外，需注意裂

，故最小值为，故选D.

项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 2．（2017·保定市一模）已知函数

是定义在上的奇函数，当

时，

，若数列

满足

，且，则（ ）

A． 2 B． -2 C． 6 D． -6 【答案】C 【解析】 【分析】

是周期数列且周期为，因此

，利用题设的函数解析式可求函数值．

2

【点睛】

（1）当从数列的递推关系无法求通项时，可以从先计算数列的若干初始项，找出规律后可得通项（必要时用数学归纳法证明）． （2）对于奇函数为

3．已知数列A． 数列

）．

的前项和为的前项和为

，且满足 B． 数列

的通项公式为

，则下列说法正确的是（ ）

（或偶函数），若已知

的解析式，则当

的时的解析为

（偶函数时

C． 数列【答案】C 【解析】 【分析】

为递增数列 D． 数列是递增数列

方法一：根据数列的递推公式可得{}是以5为首项，以5为等差的等差数列，可得Sn=，

an=，即可判断，

3

方法二：当n=1时，分别代入A，B，可得A，B错误，当n=2时，a2+5a1（a1+a2）=0，即a2++a2=0，可得a2=﹣

，故D错误，

【详解】

方法一：∵an+5Sn﹣1Sn=0， ∴Sn﹣Sn﹣1+5Sn﹣1Sn=0， ∵Sn≠0，

∴﹣=5，

∵a1=，

∴=5，

∴{}是以5为首项，以5为等差的等差数列，

∴=5+5（n﹣1）=5n，

∴Sn=，

当n=1时，a1=， 当n≥2时， ∴an=Sn﹣Sn﹣1=

﹣

=

，

∴an=

，

故只有C正确，

方法二：当n=1时，分别代入A，B，可得A，B错误， 当n=2时，a2+5a1（a1+a2）=0，即a2++a2=0，可得a2=﹣，故D错误，

故选：C． 【点睛】

4