具有简立方布喇菲格子的晶体原子间距为2A，由于晶格具有非线性作用，一个沿［100］方向传播、波矢 q[100]?1.3?1010m?1 声子同另一个波矢大小相等但沿［110］方向传播的声子相互作用，合并生成第三个声子，试求合成后声子的波矢。

[解] 两声子相互作用形成第三个声子时，不仅要服从能量守恒，还要求满足波矢守恒（或准动量守恒） q1?q2?q 3

b2/2=(π/a)j

0q 3 q [110] q 3 b1/2=(π/a)i

q [100]

可知, q3 沿[210]方向，|q3|2?|q1|2?|q2|2?2q1?q2?5.77?1020m?1 ∴ |q3|?2.4?1010m?1

??或者：q3?q1?q2?1.3?1010i2?????0.92?1010??1.3?1010(ij)?2.22?1010ij

2因为 |b1b2?|?||??1.57?1010m? 122a所以, q3沿[100]方向分量已超出了第一布区.但q3 沿 [010] 方向分量没有超出第

?2???m?1）i??3.14?1010i一布区, 故可以在沿[100]方向给q3加一倒格矢（Gh??a使之回到 第一布区.

9

q3??q3?Gh??0.92?1010???2.22?1010ij?3.14?1010i??0.92?1010???0.92?1010ij??2??2?1.3?1010??1.3?1010ij(m?1)22

所以三声子过程产生的第三个声子波矢方向是在[-1,1,0],其大小仍为

1.3?1010m?1，处于第一布里渊区内。

六、（15分）

已知N个质量为m间距为a的相同的原子组成的一维原子链，其原子在偏离平衡位置δ时受到近邻原子的恢复力F=- β δ ( β为恢复力系数 ).

1、试证明其色散关系 ??2?msinqa （q为波矢） 2 2、试绘出它在整个布里渊区内的色散关系，并说明截止频率的意义。 3、试求出它的模式密度函数g(ω)。 ［解］1、第n个原子的运动方程为

解为

m?n??(?n?1??n?1?2?n)???nq?Aei(?t?naq)其中ω、A 为常数。

将解代入运动方程即可得到所要求的色散关系??2 －(π/a)

?msinqa 2 10

截止频率表示只有频率在0～ωm之间的格波才能在晶体中传播。

13、g(?)?L1?d??2N22??(?m??)2

dq 11