《微分几何》测试题（一）
一．填空题：（每小题2分，共20分）
⒈ 向量r(t)??t,3t,a?具有固定方向，则a=___t__。
????r,r?,r????0?r(t) ⒉ 非零向量满足的充要条件是以该向量为切
?方向的曲线为平面曲线
???????? ⒊ 设曲线在P点的切向量为?，主法向量为?，则过P由?,?确定的平面
是曲线在P点的___密切平面__________。
??????(t0)点 ⒋ 曲线r?r(t)在点r(t0)的单位切向量是?，则曲线在r的法平面方
程是__________________________。
???????2? ⒌ 曲线r?r(t)在t = 1点处有，则曲线在 t = 1对
应的点处其挠率
?(1)=_ -2_____。
⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _ ⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲
率与挠率的比是___常数_________________。
)法线方程是 ⒐ 曲面z?(z,x在)y点(x0,y0,z0的
_____________________。
1
二．选择填空题：（每小题3分，共30分）
11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。
A、 直线 B、平面曲线 C、球面曲线 D、圆柱螺线
?? 12、曲线r, 挠率为?，则下列式?r(t)在P(t)点的曲率为k
子___A___不正确。
????????r??r????r??r??r??r??r??r D、????2 A、k??2 B、k??3 C、k???r?r??r??r??? 13、对于曲面的第一基本形式
I?Edu2?2Fdudv?Gdv2,EG?F2__D___。
A、?0 B、?0 C、?0 D、?0
三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分） 21、已知圆柱螺线r??cost,sint,t?，试求
??0,1, ⑴ 在点???的切线和法平面。
?2?? ⑵ 曲率和挠率。
22、对于圆柱面?:r???cos?,?sin?,u?，试求
⑴ ?的第一、第二基本形式；
2
?
⑵ ?在任意点处沿任意方向的法曲率； ⑶ ?在任意点的高斯曲率和平均曲率； ⑷ 试证?的坐标曲线是曲率线。
《微分几何》测试题（二）
一．单项选择题（2×10=20分）
1．若向量函数r?r(t)的终点在通过原点的一条直线上，则( )
A． r?(t)是定长的； B. r?(t)是定向的； C． r?(t)?1； D. r'(t)?2. 2．对于向量函数r(t)，若r(t)?r?(t)，则( )
A．r(t)是定长向量； B.r?(t)定长向量； C．r(t)是定向向量； D.r?(t)是定向向量. 3．设a,b均为非零向量，且ab?0，则（ ）
Ａ.a,b线性相关； Ｂ.a,b线性无关； Ｃ.a可以由b线性表示； D.b可以a由线性表示.
4．挠率??0,曲率k?2的曲线是( )
A． 半径为4的圆； B.半径为的圆；
14 3
C．半径为2的圆； D.半径为的圆. 5．空间曲线的形状由( )决定
A． 由曲率和挠率； B. 仅由曲率； C． 仅由挠率； D. 由参数的选取. 6．曲率是常数的曲线( )
A． 一定是直线； B. 一定是圆； C． 一定是球面上的曲线； .答案A,B,C都不对.
7．设S 是球面， 则( )
A． S上每一点是双曲点； B. S上每一点是抛物点； C． S上的圆的?指向球心； D. S上的测地线的?指向球心.
8．若曲面S在每一点的高斯曲率为，则它可以与半径为( ) 的球面贴合
A． ； B. 2； C. ； D. 4. 9．圆柱螺线r?{acost,asint,bt} 在任一点的切线与z轴的夹角
?( )
12141214A． 为；90? B. 0?； C. 与t有关； D. 与b有关.
4
10．设非直线的曲线C是曲面S: r?r(u,v)上的测地线，则有( )
A. C在每一点?∥n; B. C在每一点??n; C. C在每一点?∥n; D. C在每一点???n. 一． 判断题（2×10=20分）
1．向量函数r?r?t?满足??r?t?dt,r?t?,r??t???0，则必有一常向量a，
满足a⊥r?t?. 2．如果曲线 C: r?r?t?的所有向径共面，则r??t?必与某一固
定向量垂直.
3．曲线的形状只由曲率和挠率决定. ( )
4．直纹面上的直母线一定是曲率线. （ ）
5．若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为r?0?r?R?的圆C相切，则C是S上的测地线. 6．如果两个曲面S1与S2之间的一个对应关系， 使得它们在
对应点有相同的高斯曲率，则S1与S2 等距等价. 7．设曲面S：r=r?u,v?, 如果L:E?M:F,则v—线是曲率线.
5
（ ）
8．设曲面S：r=r?u,v?，如果L:M:N?E:F:G，则曲面上的
所有曲线都是曲率线.
9． 曲面上任意两点的连线中，测地线段最短.
（ ） 10
．
球
面
上
的
曲
率
线
是
大
圆
.
（ ）
二． 计算题（10×4=40分）
1．求曲线C：r=?at,bt2,ct3?｝上在t?0处的密切面方程. 2．已知曲线C：r=r?s?（s是弧长参数）的曲率和挠率分别是?和?,且?是不为零的常数，求曲线C：r=?(s)???(s)ds的
?1曲率和挠率.
3．求曲面 z?xy2上的渐近线.
4．求圆环面 S：r={ (b+acos?)cos? , (b+acos?)sin? , a
sin? }
?0???2?,0???2?? 上的椭圆点，双曲点和抛物点.
6
三． 证明题（10×2=20分）
1．证明：如果曲线的所有?都经过一个固定点，则曲线是以固定点为圆心的圆.
2． 设C是半径为R的球面上半径为r?0?r?R?的圆，?g是曲
率.证明：
κg?211. ?r2R2B
一． 单项选择题（2×10=20分）
1．设a?{1,0?3},b?{?2,x,6}， 若a∥b 则 ( ) A． x??； B. x??2； C. x?0； D. x为任意实数.
2．设曲线C: 满足 r?(t)?1 则 ( )
A. C是单位球面上的曲线； B. t是C的弧长参数； C. 变向量r(t)具有固定方向； D. 变向量r(t)具有固定长度.
3．若向量函数r?r(t)对于任意t 都有r(t)?1. 则 ( )
A. r(t)是定向的向量； B. r(t)是定长的向
7
12
量；
C. r?t??r??t??0； D. r??t??r???t??0. 4．可展曲面上每一点都是 ( )
A. 椭圆点； B. 抛物点； C. 圆点； D. 平点. 5．若曲线C的曲率k?2,??0 则( )
A. C是半径为2的圆; B. C是半径为的圆; C. C是半径为2的圆; D. C是半径为圆.
6．曲面上与u线正交的曲线满足 ( ) A. Ldu?Mdv?0; B. Edu?Fdv?0; C. Ldu?Ndv?0; D. Edu?Gdv?0. 7．设曲面S上一条非直线的曲线C是S上的测地线，则 ( )
A． C在每一点，?∥n； B. C在每一点,???n； C． C在每一点，?∥n； D. C在每一点， ??n. 8．在曲面S: r?r(u,v)上，u线的微分方程是( ) A． dudv?0； B. du?0； C． dv?0； D. du?dv.
8
1212的
9．若两个曲面等距等价，则( ) A.它们有相同的第一基本形式； B.它们有相同的第二基本形式； C．它们有相同的第三基本形式；
D.把其中一个经过连续的弯曲变形，就能和另一个贴合.
10．若曲面S:r?r(u,v)上任一点，都有F?M?0，则( ) A．参数曲线网是渐近线网； B.参数曲线网是曲率线网；
C．参数曲线网是测地线网； D.答案A,B,C都不对. 二． 判断题（2×10=20分）
1.向量函数r?r?t?满足?r?t?,r??t?,r???t???0, 则必有一常向量a，满足a⊥r?t?.（ )
2．如果曲线 C: r?r?t?的所有向径共面，则C就在通过原点的一个平面上.（ ）
3. 曲线 C： r=r?s?与曲线C：r=??s?在s?s0处有相同的
曲率.
9
（ ）
4. 曲率是常数2的曲线一定是半径为的圆. （ ） 5. 设S是平面， 则S上每一点，都有?1=?2=0. ( )
6. ( )
7.
可
展
曲
面
上
没
有
双
曲
点
球
面
上
的圆
的
?12指向球心.
.
( )
8. 高斯曲率K≡0的曲面一定是某一条曲线的切线曲面. ( )
9. 若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为
r?0?r?R?的圆C相切，则S在C上每一点，沿着C的方
向，都有，?n =r. ( )
10. 两个常高斯曲率曲面一定等距等价. （ ）
10
三． 计算题（10×4=40分）
1. 求曲线C：r=｛挠率.
2. 设曲线C： r=?acost,asint,?f?t?dt?是平面曲线， 求f(x). 3. 求圆柱面 r=?Rcosu,Rsinu,v?在?u0,v0?处的切平面方程，并说明，沿任意一条直母线，只有一个切平面.
4. 求曲面S：r=?a?u?v?,b?u-v?,uv??a?0,b?0?的高斯曲率. 四． 证明题（10×2=20分）
1．证明：如果一条曲线C：r=r(s) (s是弧长参数)的所
有从切面都经过一个固定点，则C 的挠率和曲率之比是s的一次函数.
2．?1?证明：可展曲面上的直母线是曲率线.
5812cost, ?sint, cost｝的曲率和131313?2?证明：如果可展曲面Ｓ上有两族直母线，则Ｓ是平
面.
《微分几何》测试题（三）
一．填空题：（每小题2分，共20分） ? BED Equation.DSMT4 r(t)具有固定方向的充要条件是
______________________。
____________________的曲线其副法向量是常矢。
11
??? EMBED Equation.DSMT4 r?r(t)在4 P(t0)点的主法向量是4 ?，则曲线
在P点的从切面方程是 。
线的主法线与一固定方向垂直，则这曲线的副法线与这固定方向 。
曲纹坐标网是渐近网的充要条件是________________。
6．曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为 ____________。
7．半径为R的球面的高斯曲率K= .
8. 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的______________恒等于零。 9. 曲面上 坐标网是平面上极坐标网在曲面上的推广。 10．在可展曲面上，测地三角形的三内角之和 4 ?。
二．选择填空题：（每小题3分，共30分）
1、圆柱螺线4 x?cost,y?sint,z?t在点4 ?1,0,0?的切线为______。
x?1yz?? B、4 y?z?0 011x?1yzC、4 ?? D、4 y?z?0
100A、 4
2、曲面的三个基本形式之间的关系为______。
A、Ⅲ+2HⅡ+KⅠ=0 B、Ⅲ-2HⅡ+KⅠ=0 C、Ⅲ-2KⅡ+HⅠ=0 D、Ⅲ-2HⅡ-KⅠ=0
????? 3、在直纹面4 r?a(u)?vb(u)（4 b(u)为单位向量）中，导线4 a(u)是
腰曲线
的充要条件是_____。
????????A、4 a??b??0 B、4 a?//b? C、4 a?b?0 D、4 a//b
4、曲面的坐标网是正交网的充要条件是_____。
A、M = 0 B、L = N = 0 C、M = F = 0 D、F = 0 5、下列曲面中_____不是可展曲面。
A、柱面 B、锥面 C、一条曲线的切线曲面 D、正螺面 6、曲面上， 不是曲面的内蕴量。 A、两曲线的夹角 B、曲线的弧长
C、曲面域的面积 D、在一点沿一方向的法曲率
7、曲面4 r?r(s,t)，4 n是其单位法向量，下列第二类基本量的计算中，
12
???
是不正确的。
A、N = 4 rtt?n B、N = 4 ?rt?nt C、N = 4 rt?nt D、N = 4 n?rtt 9、球面4 r?(Rcos?cos?,Rcos?sin?,Rsin?)的坐标曲线构不成 。 A、正交的渐近网 B、共轭网 C、曲率线网 D、半测地坐标网
?????????????? 10、曲线4 r?r(s)在P点的基本向量是4 ?,?,?,曲率为k(s) ,挠率为4
?(s)，则4 ?(s)= 。
????????????A、4 ?? B、4 ?? C、4 ?? D、4 ???
三．计算题：（1、2题各10分，3题8分，共26 分）
1、求螺线4 x?cost,y?sint,z?t上点4 ?1,0,0?的曲率和挠率。 2、确定螺旋面4 x?ucosv,y?usinv,z?cv上的曲率线和在任一点的高斯 曲率。
四．证明题：（每小题8分，共24分）
1．证明：如果曲线的所有密切平面垂直于某个固定直线，那么它是平面曲线。
《微分几何》测试题（四）
一、填空题（每小题2分，共20分）
1、变矢r(t)满足r?r'?0的充要条件是______________________。
2、曲线（C）上P点处的三个基本向量为?、?、?，则过P点由?和?确定的平面叫曲线（C）在P点的________________________。
3、若曲线在各点的曲率_________________，则曲线是直线。
4、曲线穿过__________和密切平面，但从不穿过_______________。
5、一般螺旋线的切线和一固定方向成固定角，而它的主法线与这个固定方向________________。
6、两个曲面间的变换是_________________的充要条件是适当选择参数后，它们有相同的第一基本形式。
7、曲面在非直线的渐近曲线上每点处的切平面一定是渐近曲线的________________________。
13
9、曲面的高斯曲率为K，测地曲率为可kg ，G是单连通曲面域，G的边界?G是一条光滑闭曲线，则
??Kd??__________?2?。
G二、选择题（每小题3分，共30分）
11、若曲面S上曲线（C）是平面曲线，则一定有_____恒等于零。 A、法曲率k n B、挠率τ C、测地曲率k g D、曲率k 12、在圆柱面上，圆柱螺线是_____。
A、平面曲线 B、曲率线 C、测地线 D、渐近线 13在椭圆抛物面上，高斯曲率K_____。
A、大于零 B、小于零 C、等于零 D、不确定
14、设?、?、?是曲线（C）在一点的三个基本向量，则??=_____（k,τ分别表示曲线在该点的曲率和挠率）。
A、k? B、τ? C、－τ? D、τ?
15、曲面的曲纹坐标网是正交网的充分必要条件是_____。
A、F= 0 B、M = 0 C、F = M = 0 D、L = N = 0 16、曲面上的直线不一定是_____。
A、渐近线 B、曲率线 C、测地线 D、法截线 19、下列直纹曲面中，_____是可展曲面。
A、锥面 B、单叶双曲面 C、双曲抛物面 D、挠曲线的主法线曲面
?三、解答与证明题(22题、24题各9分，其余各8分)
?2 t
21、求曲线4 r(t) = { t , t , e } 在t = 0点的密切平面和主法线。
?22、求曲线4 r(t) = {a (1－sint) , a (1－cost) ，b t } 的曲率和挠率。
23、证明：如果一条曲线的所有法平面包含常向量e，那么这条曲线是直线或平面曲线。
2 2
24、求抛物面z = a ( x+ y) 在 ( 0 ,0 ) 点的高斯曲率和平均曲率。
25、证明挠曲线（C）的主法线曲面不是可展曲面。
《微分几何》试题（五）
一．填空题：（每小题2分，共20分）
? EMBED Equation.DSMT4 r(t)具有固定方向的充要条件是__________________。
14
???????r C）的参数表示是4 r?r(s)，s是弧长，则4 ???叫作曲线(C)的??r___________。
在各点的曲率____________，则曲线是直线。
???? EMBED Equation.DSMT4 r?r(t)在P点有挠率4 ?=3，则曲线4 r?r(t)在
P点附近的形状是__________。
的切线和一固定方向成固定角，而它的副法线与这个固定方向__________。 之间的变换是_________的充要条件是适当选择参数后，它们有相同的第Ⅰ基本形式。
一类基本量是E、F、G，第二类基本量是L、M、N。则曲面上曲率线的微分方程是 。
非直线的测地线除了测地曲率为零的点以外，曲线的________重合于曲面的法线。
点(非脐点)的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的__________。 连接两点P、Q的________是曲面上连接P、Q的曲线中弧长最短的曲线。
二．选择填空题：(每小题3分，共30分)
11、若曲面S上曲线(C)恒有法曲率4 ?n=0，则曲线一定是曲面上的_______。 A、渐近曲线 B、平面曲线 C、曲率线 D、测地线 12、在圆柱面上，圆柱螺线是______。
A、平面曲线 B、曲率线 C、测地线 D、渐近线 13、在曲面上的双曲点，4 LN?M_____。 A、大于零 B、小于零 C、等于零 D、不确定
2?????? 14、设4 ?,?,?是曲线(C)在一点的三个基本向量，则4 ??=_____。（4 k,?分别表示曲线在该点的曲率和挠率）
A、4 k? B、4 ?? C、4 ??? D、4 ?? 15、正螺面4 r?{ucosv,usinv,bv}的第二基本形式是_____。 A、4 ?2?????????bu?b2222dudv B、4 22bu?b222dudv?0
22C、4 du?(u?b)dv D、4 (u?b)du?dv
15
2
16、曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是_______。 A、M=0 B、F=M=0 C、F=0 D、L=N=0 17、若曲面在其上某点处的两个主曲率分别为2，4
1，则这点是曲面的_____。 2A、椭圆点 B、双曲点 C、抛物点 D、脐点
?? 18、曲面在一点的单位法向量是4 n，则在同一点的方向4 dr是主方向的充要条件是______。
?????A、4 dn?dr?0 B、存在方向4 ?r使4 dn??r?0
??????C、存在方向4 ?r使4 ?n?dr?0 D、4 dr4 dn‖4 dr 19、在下列直纹曲面中，_____是可展曲面。 A、双曲抛物面 B、挠曲线的副法线曲面 C、挠曲面的切线曲面 D、单叶双曲面
20、一条有拐点的曲线绕一直线旋转所得旋转曲面上的点是______。 A、椭圆点 B、抛物点 C、双曲点 D、A或B或C
三．解答与证明题（21、22各9分，23-26各8分）
21、求圆柱螺线4 x?acost,y?asint,z?t在点(a,0,0)处的密切平面和主法线。
?22、求曲线4 r(t)??a(1?sint),a(1?cost),bt?的曲率和挠率。
23、证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。 24、求抛物面4 z?a(x?y)在(0,0)点的高斯曲率和平均曲率。 25、证明曲线(C)的副法线曲面是可展曲面的充要条件是曲线(C)为平面曲 线。
26、求证旋转曲面4 r???(u)cos?,?(u)sin?,?(u)?的径线是测地线。（其 中4 ?(u)?0）。
22?
16