第34章 抽屉原理

★★34.1 有一个圆，经过圆心任意作993条直径，它们与圆共有1986个交点，在每个交点处分别填写从1到496中的一个数（可以重复填写）．试证：一定可以找到两条直径，它们两端的数的和相等．

★★34.2 一个正方形被分成了11×11=121个大小相同的小方格．在每一个小方格中，任意填写1，2，3，…，30中的一个数．求证：一定能够找到两对小方格，两对小方格的中心连线的中点是同一点，并且两对小方格中的数字之和相等．

★★34.3 能否在10行、10列的方格表的每个空格中分别填上1、2、3这三个数之一，而使大正方形的每行、每列及对角线上的每个数字和互不相同？对你的结论加以证明． ★★★34.4 一个体育代表团共有997名运动员，他们着装运动服上的号码两两不同，但都小于1992．求证：至少有一名运动员的号码数等于另外两名运动员的号码数之和． ★★★34.5 一次围棋大赛先后进行了11个星期，有一位围棋新秀，他的战绩是每日至少胜一次，每星期最多胜12次．由此记录一定可以推知，在一段连续的日子里，这一位围棋新秀不多不少地正好胜了21次．

★★★34.6 已知a1，a2，…，a100是由1、2组成的数列，并且从任何一项起，连续10个数之和都不超过16，则必存在h和k，其中h＞k，使得ak＋1＋ak＋2＋…ah＝39． ★★34.7 从1，2，3，…，9中任取5个数，求证：其中至少有两个数是互质的． ★★34.8 在1到2n的正整数中任取n＋1个数，证明：一定存在两个数是互质的． ★★34.9 在任意2n个连续整数中任取n＋1个数，求证：其中必有两个数，这两个数的差恰等于n．

★★34.10 在不超过100的自然数中任取55个不同的数．试问：在它们之中是否一定能找出两个数来，使它们的差等于9？

★★34.11 求证：由小于100的任意27个不同的奇数所组成的集合中，必定有一对数，其和为102．

★★34.12 在1，2，3，…，99，100这100个正整数中任取n个不同的奇数，必有两个之和等于102，求n的小值．

★★34.13 证明：从2、3、4、5、6、7、8、9这8个自然数中任意取6个，则至少取到这样两个数，它们的乘积是12的倍数．

★★34.14 在1至100这100个自然数中，任取76个，求证：一定存在4个数，其中有两

个数之和等于另外两个数之和．

★★34.15 在1至100这100个自然数中，任取68个数．求证：其中至少有3个数，它们中有两个数之和恰等于第3个数的2倍．

★★34.16 在1至100这100个自然数中，任取29个，证明：其中至少有3个数，恰是十位数字相同的3个两位数．

★★★34.17 证明：在任意的11个无穷小数中，一定可以找到两个小数，它们的差或者含有无穷多个数字0，或者含有无穷多个数字9．

★34.18 求证：任意n＋1个整数中，总有两个整数之差能被n整除．

★★34.19 已知12个不同的两位数，证明：这些数中至少有两个数，它们的差是由两个相同数字构成的两位数．

★★34.20 求证：对任意整数N，存在N的一个倍数，它是仅由数字2与0组成． ★★34.21 证明：存在着形如111?1（1≤k≤1993）的一个整数，它是1993的倍数． ???k个★★34.22 证明：对任给的1997个自然数a1，a2，…，a1997，总可以找到其中连续的若干个数，使它们的和是1997的倍数．

★★34.23 任给7个不同的整数，求证：必有两个整数．其和或差是10的倍数． ★★★34.24 任选83个整数，求证：一定可以从中选出4个整数，使得当用乘号、括号、减号把这4个数连接起来后，其运算结果恰可被1992整除． ★★34.25 把既约分数写成

m小数形式时，必是有限小数或是无限循环小数，试证之． n★★34.26 在平面直角坐标系中，任取5个整点，证明：其中存在两个点，它们的连线中点仍是整点．

★★34.27 定义：有序数组（x1，x2，…，xn）中，如果x1，x2，…，xn均为整数，我们就称之为n维整点．任意地给定2n＋1个n维整点，求证：从中可以选出两个n维整点（x1，x2，…，xn）与（y1，y2，…，yn）来，使得（点．

★★34.28 某人连续织布10h，共织布50m．已知她第一小时织6.5m，最后一小时织4m．证明：一定存在连续的两小时，在这两小时内她至少织了10m．

★★★34.29 考虑所有形如x＋y2，其中x和y都是绝对值不大于1993的整数．证

x＋yx1＋y1x＋y，22，…，nn）是一个n维整222明：在这些数中一定存在一个数x0＋y02，使得|x0＋y02|＜

3，其中x0、y0不全为0． 1993 ★★★34.30 证明：存在不全为0的整数a、b、c，且每个数的绝对值均为小于106，使得|a＋b2＋a3|＜

1． 1011★★34.31.在边长为1的正三角形中，在取7个点，其中任意三点不共线.证明：其中必有三点构成的三角形的面积不超过3. 12★★★34.32.设n≥2，单位圆中给定2n个点，任三点不共线.求证：必存在三点.以这三点为顶点的三角形面积小于

?. n153★★★34.33.在边长为1的正三角形中给定361个点，求证：存在一个半径为至少含其中的25个点.

的圆，

★★34.34.在边长有限的正方形内有无穷多个点，对任意给定的实数r＞0，这些点中至少有一点.在以其为圆心，以r为半径的圆内仍含有无穷多个点，试证明之.

★★★34.35.平面上任意给定1980个点，其中任意两点的距离均大于2.求证：其中必有220个点，彼此之间的距离都不小于2.

★★34.36.正方形被9条直线分割，每一条都与正方形的一对对边相交，把该正方形分成面积之比为2：3的两个梯形.求证：这9条直线中至少有3条相交于同一点.

★★34.37.910瓶红、蓝墨水，排成130行，每行7瓶.证明：不论怎样排列，红、蓝墨水瓶的颜色次序必定出现下述两种情况之一：（1）至少有三行完全相同；（2）至少有两组（四行），每组的两行完全相同.

★★34.38.如图所示，3行7列小方格每一个染上红色或蓝色.证明： 存在一个矩形，它的四个角上的小方格颜色相同.

★★★34.39.在3×4方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子，问：至少要去掉多少枚围棋子，才能使得剩下的棋子中任意4枚都不构成正方形的4个顶点？

★★34.40.如图所示是一个等边三角形.其由25个小的等边三角形 构成，用数字1，2，3，…，8和9填满一个三角形网格，每 个小三角形填写一个数字.将网格中由3个相邻小三角形构 成的梯形称为“3－梯形”，梯形内3个整数的和称为“梯形 数”.问：能否给出一种填法，使任意两个“梯形数”均不相 同?如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由.

★★34.41.在正七边形的每个顶点处放着黑色或白色的棋子.证明：存在同一颜色的三个棋子，它位于某个等腰三角形的顶点上.

★★★34.42.一正九边形各顶点分别染红、绿两色.任三顶点确定一个三角形，若三顶点同色，则称之为绿（红）三角形.求证：必存在两个同色三角形，颜色相同且全等.

★★★34.43.无穷方格纸片的每个方格都染上n种颜色之一（n≥2).证明：能找出同样颜色的四个方格，其中心分别是某个矩形的顶点，此矩形的边平行于方格纸的分格线.

★★34.44.任意凸九边形中，一定有三个顶点A、B、C，使得∠ABC≤20°，并证明之. ★★★34.45.平面上任意给定六点，任三点不共线.求证：总能找到三个点，得以此三点为顶点的三角形中有不超过30°的角.将30°改成29°结论是否还对?

★★34.46.证明：平面上两两相交的七条直线交得的角中至少有一个小于26°.

★★34. 47.把1~100这100个自然数任意排在一个圆上，证明：一定有三个相邻的数，它们的和不小于153.

★★34.48.正200边形A1A2?A2000的顶点随意地标上数0，1，…,1999（每一个数只标给一个顶点）.求证：必有一个顶点，与它相邻两个顶点上所标的三个数之和大于等于2999.

?，Pn在每两点之间连起直线段，★★34.49.平面上有n（n≥4）个互不相同的点P1，P2，已知其中长度等于d的线段有n＋1条.求证：从这n个点中可以找出一个点来，使得从这一点出发的线段中至少有3条的长度等干d.

★★34.50.如图所示，一个圆盘分内外两圈，均等分10个“格子”， 且分别将1，2，3，…，10这10个数填入内外圈10个格子中 （每格填一数，不一定按大小次序）.若内圈可以绕圆心转动， 求证：在转动中一定有某个时刻内圈的10个数与外圈的10个 数每对乘积之和大于302.

★★34.51.两个大小不同的同心圆盘各被等分成100个扇形.从每一个圆盘上独立地.随机地取出50个部分涂上黑色.把小圆盘绕中心进行旋转，转到一个内，外扇形对齐的位置之后，再计算内、外颜色相同的局形的总数.有趣的是，不论原先内、外盘的面色是怎样涂的，一定存在某个位置，使得颜色能匹配的扇形个数不小于50.

★★34.52.有两个同心圆盘，各分成n个相等的小格，外盘固定，内盘可以转动，内、

?，an；b1，b2，?，bn.它们适合 外两盘的小格中，分别有写数a1，a2，a1?a2??an＜0，b1?b2???bn＜0

求证：一定可以将内盘转到一个适当的位置，使得内、外两盘上的小格对齐，这时两盘上n个对齐了的小格中的两数乘积之和为一正数.

★★34.53.普拉脱兰奇国的某些城市之间是有电话联系的，证明：在普拉脱兰奇国中至少可以我到两个城市，它们和同样多个城市有电话联系.

★★34.54.任意给定70个不超过200的互不相同的正整数，求证：其中必有某两个数的差或为4，或为5，或为9.

★★★34.55.设一个整数被某个数M（M≠1）整除的判别法则不依赖于整数数字190的次序.证明：M等于3或9.

★★★34.56.在100×100的象棋盘的格子中都写上整数，使得任意相邻格子（具有公共边的格点）中数的差不超过20，证明：在盘中至少存在三个格子写有同一个数.

★★★34.57.A是－个16位的正整数.证明：可以从A中连续取出连续若干位数字，使得其乘积是完全平方数.例如，A中某位数字是4，则就取这个数字.

?，a1024中的每一项ai取下列10个素数2、3、5、11、13、★★★34.58.设数列a1，a2，17、19、23、29之一.求证：必有连续的若干项，其积是完全平方数.

★34.59.把128个半径是1的圆放到一个边长为20的正方形内.证明：不管怎样放置，必有两个圆有公共点.