ep(n)?ep?1(n)?Kpbp?1(n?1) bp(n)?bp?1(n?1)?Kpep?1(n)

当p=0时有ex(n)0(n)?b0(n)?x(n)，格型滤波器的示意图如下：

eK(1)(p)+(n)K(2)K(p)z-1z-1z-1e(p) -(n)

1.3.7 AR模型系数的求解方法 ①自相关法

?xx(0) ??xx(?1) ??xx(?2) ?xx(?p) ???????xx(1) ??xx(0) ??xx(?1) ?xx(?(p-1))? ???? ????????(p) ?(p?1) ?(p?2) ?(0)xxxxxx?xx??1?a?1? ?a??p???????? 0?????? ???? 0??????2

?1x(n)x(n?m) m?0, 1,,p????xx(m)??Nn?0???p??xx(?m) m??1, ?2,N?1?m

②Burg递推算法

Burg递推算法的优点是不需要估计自相关函数，可以直接从已知

的x(n)序列求得参数Kp。另外，这种算法可保证满足稳定性的充要条件：

Kp?1,(p?1,2,)。Burg算法是以前向均方误差与后向均方误差

之和最小为准则求得Kp。

?E?ep(n)?bp(n)????Kp22?02e→E??(n)bp?1(n?1)?Kpbp?1(n?1)?Kpep?1(n)??0p?1?22→

Kp??2E?ep?1(n)bp?1(n?1)???E?ep?1(n)?bp?1(n?1)???22

对于平稳随机过程，集合平均可用时间平均代替。

N?12??ep?1(n)bp?1(n?1)???Kp??n?n?ep?1(n)?bp?1(n?1)???22

Kp?2KpKKepebpbp?K?1 K2??ep?1(n)bp?1(n?1)???p??n?pN?1

?n?p?ep?1(n)?bp?1(n?1)???22其中，ep(n)?ep?1(n)?Kpbp?1(n?1)，bp(n)?bp?1(n?1)?Kpep?1(n)，Kp?app

api?ap?1,i?appap?1,p?i，?2p?(1?app2)?2p?1, ?20??xx(0)（Levinson-Durbin算

法）

如果已知x(n)为有限长序列x0，x1，…，xN-1，(即x(0)，x(1)，…，

N?1N?1x(N-1))，当p=1时，K2??e0(n)b0(n?1)?12???n?1N?1?x(n)x(n?1)???n?1N?1，

2?n?1?e(n)?b(n?1)?0?0?2?x0x1?x1x2?22?n?1?x(n)?x(n?1)??????xx(1)??????xx(0)?2???xN?2xN?1??2xN?2?xN?122x0?2x1?2x2?222????

可得e1(n)?e0(n)?K1b0(n?1)?x(n)?K1x(n?1)

b1(n)?b0(n?1)?K1e0(n)?x(n?1)?K1x(n) K1?a11

?1?(1?a2211?)20,? ? 0?xx2

(0) 将e1(n)及b1(n)代入，

N?12??e1(n)b1(n?1)?K2??n2????x(n)?K1x(n?1)??x(n?2)?K1x(n?1)?????n?2N?1?n?e1(n)?b1(n?1)???22

22???x(n)?K1x(n?1)???n?22?x(n?2)?K1x(n?1)???

K1(1?K2)?a11(1?a22)?a21e2(n)?e1(n)?K2b1(n?1)

b2(n)?K2?a22b(n?11?)K2

1?2?(1?a22)?1, 222

e (n) Burg算法绕开了信号自相关函数的估计，但计算量比自相关法要

稍大一些。

优点：采用格形结构，把前后向预测结合起来考虑，可改进较短

信号长度或不太平稳信号的频谱估计质量。

该算法还以Levison-Durbin算法为基础，估计质量和自相关法差别

不是很大。

1.3.8 MA模型谱估计

MA模型x(n)??l?0qbl?(n?l)传递函数H(z)?2qB(z)?1??l?1blz?k

功率谱密度Pxx(?)??2?B(ej?)??2???1??qq2?l?1blz?k???

z?ej? MA

?2????bkbk?m , 0?m?q模型的正则方程?xx(m)??k?m?0, m?q?(?)??2j?2q

可以证明Pxx?B(e)??m??q?xx(me)j?m和经典谱估计的间接法

等效。

如果单纯作谱估计，不需要估计模型参数b，只需根据数据估计

出相应的自相关函数，即可得到功率谱估计。 1.3.9 ARMA模型谱估计

ARMA模型的正则方程

?2???ak?xx(m?k) ????bkbk?m, 0 ?m?q?k?1k?0?xx(m)??p???ak?xx(m?k), m?q??k?1pq?m

第二个方程可写为

?a1???xx(q?1)?????a2?xx(q?2)??????? ?? ?????a?(q?p)??p?xx??? ?xx(q?p?1)???xx(q) ?xx(q?1) ?xx(q?2) ???xx(q?1) ?xx(q) ?xx(q?1) ?xx(q?p?2))??? ????(q?p?1) ?(q?p?2) ?(q?p?3) ?(q)xxxxxx?xx? 估计结果较差，需要采用超定方程。

求解ARMA模型的步骤： ①由采用超定方程估计参数a。

?(z)?1?②对已知数据Xn，用FIR滤波器A?k?1pakz?k滤波。输出近似

一个MA过程。 ③PqMA(?)??m??q?xx(m)ej?m

PMA(?)p2④ARMA谱估计P(?)?xx1?

?k?1ake?j?k