功率谱密度Pxx(?)???H(?)22?1???p22

z?ej??k?1akz?k但是直接从Yule-Walker方程式求解参数ak(k =1，2，…，N)需要作求逆矩阵的运算，当N大时，运算量很大，并且每当模型阶数增加一阶，矩阵增大一维，需要全部重新计算。 1.3.3 Levinson-Durbin算法

Levinson-Durbin算法是一种按照阶次进行递推的算法，即首先以AR(0)和AR(1)模型参数作为初始条件，计算AR(2)模型参数；然后根据这些参数计算AR(3)模型参数，一直到计算出AR(p)模型参数为止。 一阶AR模型的Yule-Walker矩阵方程应为

2??1???xx(0) ?xx(1)??1???? ????a?(1) ?(0) 0?11?xx?xx???

?(1?a11)?xx(0)2从这个矩阵方程可解得a

11???xx(1)/?xx(0)，?21

再从二阶AR模型的矩阵方程：

??2???xx(0) ?xx(1) ?xx(2)??1????????xx(1) ?xx(0) ?xx(1) a21?? 0?????? 0????a22????xx(2) ?xx(1) ?xx(0)????2

2 解得

a22????xx(0)?xx(2)??xx(1)?/??xx(0)??xx(1)?????xx(2)?a11?xx(1)?/?1????a21????xx(0)?xx(1)??xx(1)?xx(2)?/??xx(0)??xx(1)??a11?a22a11 ??22222

?2?(1?a22)?1222

以此类推得递推公式：

akk?????xx(k)??k?1?l?1?ak?1, l?xx(k?l)?/??2k?1

aki?ak?1,i?akkak?1,k?i

?k?(1?akk)?k?1, ?0??xx(0)2222

优点：避免了矩阵的求逆计算，且可随着阶次的增加逐渐找到模

型的最优阶次p

1.3.4 AR模型的稳定性问题及其阶的确定

稳定的AR模型具有以下性质： ①?②a③H21??2??322??2p?0

, pkk?1 k?1, 2,

e(z)的所有极点均在单位圆内

④自相关矩阵是为正定矩阵

一般来讲阶数预先是不知道的，当我们递推到第k阶，满足所允

许的值，就可选阶数 p=k 。如果信号的正确模型是p阶的AR模型，则应有a

kk?0 及 ?k??p 当k?p22时

AR模型阶次的确定

①最终预测误差准则FPE(k)??②信息论准则AIC(k)?22kN?kN?k

Nln(?k)?2k

1.3.5 AR谱估计的性质

①AR谱估计隐含着自相关函数的外推

设要估计一个AR谱，已知它的自相关函数的p＋1个估计值

?xx(0),??xx(1),??xx(p),?

可以得到

p?xx(m)???ak??xx(m?k) , m?p?k?1

??xx(m?k) , m?0???ak??k?1?xx(m)???p2???xx(?k)???,m?0ak????k?1p

②AR谱估计与最大熵谱估计等效 最大熵谱估计法的基本思想：

如果假设已知?xx(0), ?xx(1), , ?xxN(), 问题在于按什么原则外推

?xx(N?1), ?xx(N?2), 在保证自相关函数的 Toeplitz矩阵是正定的

情况下有无穷多种外推法，Burg认为外推的自相关函数应使时间序列表现出最大熵，因此把Burg提出的这种方法称之为最大熵谱估计法。

熵是代表一种不定度，最大熵为最大不定度，即它的时间序列最

随机，而它的PSD应是最平伏(最白色)。按Shannon对熵的定义，当x的取值为离散的时，熵H定义为H

???pilnpii

当x的取值为连续的时，熵被定义为

H???p(x)lnp(x)dx??E?ln(p(x))?这里

p(x)为概率密度函数。

xx当x(n)是高斯随机过程，且其功率谱密度P??0??0(?)满足

lnPxx(?)d???

?0??0则可以证明其熵正比于?lnPxx(?)d?

?N2N2?j?n可以证明使熵最大的功率谱为pxx(?)?1?

?n?1ane x(n)为高斯分布时最大熵谱估计法与AR模型法是等价的。

1.3.6 预测误差格型滤波器

?(n)可用x(n)的各过去值的加权之按线性预测理论，x(n)的估计值xp?(n)???和表示。xk?1apkx(n?k)

误差e(n)，在这里用ep(n)表示(p为阶数)

p?(n)?x(n)?ep(n)?x(n)?x?k?1apkx(n?k)，称为线性预测器的前向误差。

由Levinson关系式可得a令Kppk?ap?1, k?appap?1, p? k?app，这里的KP称为部分相关系数(PARCOR)或反射系数。

p?1ep(n)?x(n)??k?1p?1apkx(n?k)?appx(n?p)

Kpx(n?p)

?x(n)???ak?1p?1,k?KPap?1,p?k?x(n?k)???x(n?p)??p?1p?1?x(n)??k?1ap?1,kx(n?k)?Kp?k?1?ap?1,p?kx(n?k)??

?ep?1(n)?Kpbp?1(n?1)

p?1p?1 其中，bp?1(n?1)?x(n?p)??k?1ap?1,p?kx(n?k)?x(n?p)??k?1ap?1,kx(n?p?k)

pbp(n)?x(n?p)??k?1?(n?p)apkx(n?p?k)?x(n?p)?xp?(n?p)???apkx(n?p?k)xk?1

p?1), x(n?p?2), , x(n)加

?(n?p)x是由x(n-p)以后的各数据x(n?权之和得到的，故bp(n)称为后向预测误差。