现代数字信号处理学习报告（二）

第一部分 现代谱估计

1.1谱估计

1.1.1功率谱

功率谱是功率谱密度函数的简称，它定义为单位频带内的信号功率。它表示了信号功率随着频率的变化情况，即信号功率在频域的分布状况。 1.1.2 功率谱估计 如果我们用?率谱密度。 则P?xxxx(m)表示随机信号的自相关函数，Pxx(?)表示它的功

(?)??m????xx(m)e?j?m，?xx(m)?limN??12N?1N?n??Nx(n)x(n?m)? 来估计

当我们用一个样本记录的有限个数据x(0), x(1), 自相关函数和功率谱密度时， 上式变为??xx, x(N?1) (m)?1NN?1?n?0x(n)x(n?m)?，Pxx(?)????mxx(m)e?j?m

一个好的估计应该是①无偏估计，②最小方差估计。如果我们用?表示某个随机变量的真值，?? 表示它的估计值，则希望满足： (1) 无偏估计E{??}??，偏差B?bias[??]?E??????

(2) 最小方差估计，即方差Var{??}?E{???E{??}}为最小的估计

但是常常发生这种情况，一种估计的偏倚较小，而方差较大；另

一种估计偏倚较大而方差较小；此时很难定哪一种估计好。因此也常常用均方误差的大小来衡量估计的优劣。

N?? Bias?????0????? ?N?? Var????0????满足上式的估计称为一致估计。一个正确的估计应该满足一致估计的条件(这是正确估计的必要条件，不是充分条件)。反之，如果某种估计方法不能满足一致估计的条件，则这种估计方法一定是不正确的。

1.2 经典谱估计

经典谱估计以傅里叶变换为基础，分为直接法（即周期图法）和间接法。直接法是将观察到的有限个样本数据利用FFT算法作傅氏变换直接进行功率谱估计(不通过自相关函数的估计)，这种方法称为周期图法。间接法是通过对自相关函数进行估计，然后再作傅氏变换得功率谱估计值。这种方法是1958年由Blackman与Tukey提出的，简称BT PSD估计法。

当样本数据很大时经典谱估计的效果是可以接受的，但是样本少时，此估计方法的效果往往不是很好，这是由于经典谱估计的天然缺陷造成的：经典谱估计认为除了样本数据以外的其他信号值全为零，这是不符合实际的，经典谱估计的分辨率低，不可避免的受到加窗的影响，而且它也不是真实的一致估计。经典谱估计同时会造成主瓣内的能量“泄漏”。

1.2.1 间接法

设观察到N个值：x(0), x(1), 一种方法??(m)?xx1NN?m?1, x(N?1)，计算自相关函数估计值的

?xx(m), m?(N?1)??n?0x(n)x(n?m)?N?mN

式中m取绝对值是因为?均值E???(m)??xxN?mNxx(m)??xx(?m)，m为负值时上式仍适用。

?xx(m)

?xx(m)??E???xx(m)???xx(m)?Bias??N?mN?xx(m)??xx(m)?mN?xx(m)

偏差Var???(m)??xx?m?r?21??(r)??xx(r?m)?xx(r?m)?????x?x?Nr??(N?m?1)?N?1N?m?1?xx(m)??0?N?? Bias???因为??xx(m)??0?N?? Var???所以??xx(m)是?xx(m)的一致估计。

再计算信号自相关函数的傅里叶变换，从而得到信号功率谱密度函数的估计值

?PMBT(?)??m??M?xx(m)e??j?m|M|?N?1

2N-1点信号自相关函数的离散傅里叶变换，可用快速傅里叶变换来实现。

1.2.2 直接法（周期图作为功率谱的估计）

XX(?)N是有限长序列x(n)的傅氏变换。显然其是周期性的。直接将

NN(?)的模的平方除以N求得的功率谱的估计称为周期图，并用I(?)?IPERN(?)?表示：P(?)?1NXN(?)2

这种将周期图作为功率谱估计的方法的主要优点是计算方便。M＝N－1，直接法和间接法估计出的结果是相同的。

?均值E{PBT?(?)}?E{P(?)}?WB(?)?Pxx(?)PER1N2

2其中，WB(?)?RN(?)1?sin?N/2???N??sin?/2?除非WxxB(?)为?函数，

?(?)?将不等于PP否则E???xx(?)。周期图作为P，得到limN??(?)的估计是有偏的。

，所以周期图

当N??时，WB(?)??(?)N??E?IN(?)??Pxx(?)作为功率谱的估计，当N当N????时是无偏的。

?(?)??0，Var?P时，这说明周期图不满足一致估计的条件。??并且N 增加将会使周期图的起伏增快。因此，我们得不出

N???(?)?P(?)的结论。单个样本估计出的功率谱不会收敛到真谱。 limP1.2.3 直接法估计的改进

改进方差特性。如果将周期图进行平滑(平均是一种主要的平滑方法)将会使方差减小，得到一致谱估计。 ①巴特利特(Bartlett)平均周期图的方法 如果x21, x2, , xL是不相关的随机变量，每一个具有期望值?，方

?(x1? x2? ? xL)/L差?，则可以证明它们的数学平均x于?，数学平均的方差等于?单独方差小L倍。L?2的期望值等

/L。L个平均的方差比每个随机变量的，可达到一致谱估计的目的。

N?1)? Var?x??0Bartlett平均周期图的方法是将序列x(n) (0?n?分段求周期

?LM图再平均。设将x(n)分成L段，每段有M个样本，因而N段的周期图为IiM，第i

(?)?1MM?12?n?0x(n)ej?j?n。

L 谱估计可定义为L

1?(?)?段周期图的平均PPERL?i?1IM(?)i。