【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=，可得y与x之间的函数关系式；

（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式x+b＞的解集为x＞1； （3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=BC=，或BP=BC=，即可得到OP=3﹣=，或OP=4﹣=，进而得出点P的坐标． 【解答】解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3， ∴A（1，3），

把A（1，3）代入双曲线y=，可得m=1×3=3， ∴y与x之间的函数关系式为：y=； （2）∵A（1，3），

∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1； （3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4， ∴点B的坐标为（4，0），

把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b， ∴b=， ∴y2=x+，

令y=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0）， ∴BC=7，

∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，

∴CP=BC=，或BP=BC=， ∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=， ∴P（﹣，0）或（，0）．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

22．（8分）如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根． （1）求证：PA?BD=PB?AE；

（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．

【考点】MR：圆的综合题．

【分析】（1）易证∠APE=∠BPD，∠EAP=∠B，从而可知△PAE∽△PBD，利用相似三角形的性质即可求出答案．

（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，易求得AE=2，BD=3，由（1）可知：

，从而可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC=，从而可求出AD和

DG的长度，进而证明四边形ADFE是菱形，此时F点即为M点，利用平行四边形的面积即可求出菱形ADFE的面积． 【解答】解：（1）∵DP平分∠APB， ∴∠APE=∠BPD， ∵AP与⊙O相切，

∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°， ∴∠EAP=∠B， ∴△PAE∽△PBD， ∴

，

∴PA?BD=PB?AE；

（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G， ∵DP平分∠APB， AD⊥AP，DF⊥PB， ∴AD=DF， ∵∠EAP=∠B， ∴∠APC=∠BAC， 易证：DF∥AC， ∴∠BDF=∠BAC，

由于AE，BD（AE＜BD）的长是x2﹣5x+6=0， 解得：AE=2，BD=3， ∴由（1）可知：∴cos∠APC=

=，

，

∴cos∠BDF=cos∠APC=， ∴

，

∴DF=2， ∴DF=AE，

∴四边形ADFE是平行四边形， ∵AD=AE，

∴四边形ADFE是菱形， 此时点F即为M点， ∵cos∠BAC=cos∠APC=， ∴sin∠BAC=∴∴DG=

， ，

，

∴在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形 其面积为：DG?AE=2×

=

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定及其面积公式，相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学生的灵活运用知识的能力．

23．（9分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是 MG=NG ；位置关系是 MG⊥NG ． （2）类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．

（3）深入研究：