高中数学一轮复习考点专题训练:专题35 基本不等式(解析版) 下载本文

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专题35 基本不等式

一、【知识精讲】 1.基本不等式:ab≤

a+b2

(1)基本不等式成立的条件:a≥0,b≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号. (3)其中a+b2

称为正数a,b的算术平均数,ab称为正数a,b的几何平均数.

2.两个重要的不等式

(1)a+b≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.

2

2

?a+b?(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (2)ab≤??

?2?

3.利用基本不等式求最值 已知x≥0,y≥0,则

(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2p(简记:积定和最小). (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).

4[微点提醒]

1.+≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.

2

s2

baab?a+b?≤a+b. 2.ab≤??2?2?

3.

21+≤ab≤≤12

2

22

a+ba2+b2

2

(a>0,b>0).

ab二、【典例精练】

考点一 利用基本不等式求最值 角度1 通过配凑法求最值 12

【例1-1】设a>b>0,则a++A.1 C.3

aba1

的最小值是( ) a-bB.2 D.4

【答案】D 12

【解析】 a++

aba12

=(a-ab)+a-b1

+2

a2-ab1

11

++

a-abab2

2

ab≥2a2-ab·

ab×ab=4,当且仅当a-ab=

11

且=ab, a2-abab即a=2,b=

2

时取等号,故选D. 2

角度2 通过常数代换法求最值

【例1-2】已知x>0,y>0,且x+2y=xy,则x+y的最小值为________. 【答案】3+22

21

【解析】由x>0,y>0,x+2y=xy,得+=1,

xy?21?所以x+y=(x+y)?+?

?xy?

2yx=3++≥3+22.

xy当且仅当x=2y时取等号.

【解法小结】 在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,主要有两种思路:

(1)对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有:折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.

(2)条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值. 考点二 基本不等式在实际问题中的应用

【例2】 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).

x??假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油?2+?升,司机的工资是每小时14元.

?360?

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;

(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 130

【解析】 (1)设所用时间为t=(h),

2

xx?130130?y=×2×?2+?+14×,x∈[50,100].

xx?360?

130×182×130所以,这次行车总费用y关于x的表达式是y=+x,x∈[50,100]

x3602 34013

(或y=+x,x∈[50,100]).

x18

2

130×182×130(2)y=+x≥2610,

x360130×182×130

当且仅当=x,

x360即x=1810时等号成立.

故当x=1810千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为2610元. 【解法小结】 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 考点三 基本不等式的综合应用

【例3】 (1) (2017·山东高考)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为________. (2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为________. 【答案】 (1)8 (2)9

【解析】(1) ∵直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2), 12

∴+=1,

xyabxyabab4ab?12?∴2a+b=(2a+b)?+?=4++≥4+2

?ab?

ba4ab·=8,

ba当且仅当=b4a,即a=2,b=4时,等号成立. ab故2a+b的最小值为8.

(2)法一 依题意画出图形,如图所示.

易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,

111

即csin 60°+asin 60°=acsin 120°, 22211

∴a+c=ac,∴+=1,

acc4a?11?∴4a+c=(4a+c)?+?=5++≥9,

ac??

ac当且仅当=c4a3

,即a=,c=3时取“=”. ac2

法二 以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,

则D(1,0),∵AB=c,BC=a, 3?3??c?a∴A?,c?,C?,-a?.

2??22??2→→

∵A,D,C三点共线,∴AD∥DC. 3?a?3??c??∴?1-??-a?+c?-1?=0,

?2??2?2?2?11

∴ac=a+c,∴+=1,

acc4a?11?∴4a+c=(4a+c)?+?=5++≥9,

?ac?

ac当且仅当=c4a3

, 即a=,c=3时取“=”. ac2

【解法小结】 基本不等式的应用非常广泛,它可以和数学的其他知识交汇考查,解决这类问题的策略是: 1.先根据所交汇的知识进行变形,通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解,这是难点.

2.要有利用基本不等式求最值的意识,善于把条件转化为能利用基本不等式的形式. 3.检验等号是否成立,完成后续问题. 三、【名校新题】

1.(2019·孝感调研)“a>b>0”是“ab<

a2+b2

2

”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 【答案】A

【解析】由a>b>0,可知a+b>2ab,充分性成立,由ab<

2

2

D.既不充分也不必要条件

a2+b2

2

,可知a≠b,a,b∈R,故必要性不成立.

x2-2x+1?1?2.(2019·玉溪一中月考)已知f(x)=,则f(x)在?,3?上的最小值为( )

x?2?

1

A. 2【答案】D

4B. 3

C.-1

D.0