高考数学一轮考点扫描
专题35 基本不等式
一、【知识精讲】 1.基本不等式:ab≤
a+b2
(1)基本不等式成立的条件:a≥0,b≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号. (3)其中a+b2
称为正数a,b的算术平均数,ab称为正数a,b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a+b≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
2
2
?a+b?(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (2)ab≤??
?2?
3.利用基本不等式求最值 已知x≥0,y≥0,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2p(简记:积定和最小). (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).
4[微点提醒]
1.+≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.
2
s2
baab?a+b?≤a+b. 2.ab≤??2?2?
3.
21+≤ab≤≤12
2
22
a+ba2+b2
2
(a>0,b>0).
ab二、【典例精练】
考点一 利用基本不等式求最值 角度1 通过配凑法求最值 12
【例1-1】设a>b>0,则a++A.1 C.3
aba1
的最小值是( ) a-bB.2 D.4
【答案】D 12
【解析】 a++
aba12
=(a-ab)+a-b1
+2
a2-ab1
11
++
a-abab2
2
ab≥2a2-ab·
ab×ab=4,当且仅当a-ab=
11
且=ab, a2-abab即a=2,b=
2
时取等号,故选D. 2
角度2 通过常数代换法求最值
【例1-2】已知x>0,y>0,且x+2y=xy,则x+y的最小值为________. 【答案】3+22
21
【解析】由x>0,y>0,x+2y=xy,得+=1,
xy?21?所以x+y=(x+y)?+?
?xy?
2yx=3++≥3+22.
xy当且仅当x=2y时取等号.
【解法小结】 在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,主要有两种思路:
(1)对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有:折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.
(2)条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值. 考点二 基本不等式在实际问题中的应用
【例2】 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).
x??假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油?2+?升,司机的工资是每小时14元.
?360?
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 130
【解析】 (1)设所用时间为t=(h),
2
xx?130130?y=×2×?2+?+14×,x∈[50,100].
xx?360?
130×182×130所以,这次行车总费用y关于x的表达式是y=+x,x∈[50,100]
x3602 34013
(或y=+x,x∈[50,100]).
x18
2
130×182×130(2)y=+x≥2610,
x360130×182×130
当且仅当=x,
x360即x=1810时等号成立.
故当x=1810千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为2610元. 【解法小结】 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 考点三 基本不等式的综合应用
【例3】 (1) (2017·山东高考)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为________. (2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为________. 【答案】 (1)8 (2)9
【解析】(1) ∵直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2), 12
∴+=1,
xyabxyabab4ab?12?∴2a+b=(2a+b)?+?=4++≥4+2
?ab?
ba4ab·=8,
ba当且仅当=b4a,即a=2,b=4时,等号成立. ab故2a+b的最小值为8.
(2)法一 依题意画出图形,如图所示.
易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,
111
即csin 60°+asin 60°=acsin 120°, 22211
∴a+c=ac,∴+=1,
acc4a?11?∴4a+c=(4a+c)?+?=5++≥9,
ac??
ac当且仅当=c4a3
,即a=,c=3时取“=”. ac2
法二 以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,
则D(1,0),∵AB=c,BC=a, 3?3??c?a∴A?,c?,C?,-a?.
2??22??2→→
∵A,D,C三点共线,∴AD∥DC. 3?a?3??c??∴?1-??-a?+c?-1?=0,
?2??2?2?2?11
∴ac=a+c,∴+=1,
acc4a?11?∴4a+c=(4a+c)?+?=5++≥9,
?ac?
ac当且仅当=c4a3
, 即a=,c=3时取“=”. ac2
【解法小结】 基本不等式的应用非常广泛,它可以和数学的其他知识交汇考查,解决这类问题的策略是: 1.先根据所交汇的知识进行变形,通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解,这是难点.
2.要有利用基本不等式求最值的意识,善于把条件转化为能利用基本不等式的形式. 3.检验等号是否成立,完成后续问题. 三、【名校新题】
1.(2019·孝感调研)“a>b>0”是“ab<
a2+b2
2
”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 【答案】A
【解析】由a>b>0,可知a+b>2ab,充分性成立,由ab<
2
2
D.既不充分也不必要条件
a2+b2
2
,可知a≠b,a,b∈R,故必要性不成立.
x2-2x+1?1?2.(2019·玉溪一中月考)已知f(x)=,则f(x)在?,3?上的最小值为( )
x?2?
1
A. 2【答案】D
4B. 3
C.-1
D.0