2010年长江师范学院专升本考试《高等数学》复习资料 陈强编
二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键．这里介绍配置二次积分限的方法--几何法． 画出积分区域D的图形(假设的图形如下 )
在?a,b?上任取一点x,过x作平行于y轴的直线,该直线穿过区域D,与区域D的边界有两个交点?x,?1(x)?与?x,?2(x)?,这里的?1(x)、又因x?2(x)就是将x看作常数而对y积分时的下限和上限；是在区间?a,b?上任意取的,所以再将x看作变量而对x积分时,积分的下限为a、上限为b．
例3-6 计算
2D, 其中是由抛物线y?x及直线y?x?2所围成的区域． xyd???D解：积分区域可用下列不等式表示D:?1?y?2,y2?x?y?2．
??xyd???D2?1dy?2yy?2y?212452?251??． xydx??xy2dy???y(y?2)?ydy????y?1?2?12825．会用极坐标计算二重积分．
①各变量之间的关系：
??f(x,y)dxdyDx?rcos?y?rsin?dxdy?rdrd???f(rcos?,rsin?)rdrd?D
②积分区域D可表示成如右图所示形式， D:?????,?1(?)?r??2(?)．其中函数?1???,?2???在??,??上连续．
则
??Df(x,y)d????f(rcos?,rsin?)rdrd???d??D??2(?)??1(?)f(rcos?,rsin?)rdr．
③积分区域D:?????,0?r??(?)．显然,这只是②的特殊形式?1????0． ( 即极点在积分区域的边界上 )． 故
??Df(x,y)d????f(rcos?,rsin?)rdrd???d??D??(?)?0f(rcos?,rsin?)rdr．
④积分区域D为下图形式
- 33 -
2010年长江师范学院专升本考试《高等数学》复习资料 陈强编
显然,这类区域又是上情形的一种变形( 极点包围在积分区域D的内部 ),D可剖分成D1与D2,而
D1:0????,0?r??(?)，D2:????2?,0?r??(?)．
故D:0???2?,0?r??(?)． 则
??f(x,y)d????f(rcos?,rsin?)rdrd???DD2?0d???(?)0f(rcos?,rsin?)rdr．
由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域D用极坐标变量r,?表示成如下形式：?????,?1(?)?r??2(?)． ⑤使用极坐标变换计算二重积分的原则
(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；
22?(2) 被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含(x?y), ?为实数 )．
例3-7 计算I??a0dx??a?a2?x222dyx?y?4a?(x?y)222?x(a?0)． 解：此积分区域为D:0?x?a,?x?y??a?a2?x2．区域的简图为 该区域在极坐标下的表示形式为D:? ?4???0,0?r??2asin?．
0?2asin?I???Drdrd?r4a?r22???d???40?2asin?0r??????arcsin??2a?04a2?r24?drd??????d???40?232．
练习3-4 1、计算2、计算3、计算
222，其中D由抛物线与所围成的区域． y?xx?y(x?y)dxdy??D22，其中D由抛物线与y?1?xy?x?1所围成的区域． (x?y)dxdy??D??yeD2xydxdy，其中D为x?0,y?x,y?1所围成的区域．
f(x,y)dy的积分次序．
- 34 -
4、交换
?120dx?1?xx 2010年长江师范学院专升本考试《高等数学》复习资料 陈强编
5、交换
?10dy?f(x,y)dx??dy?01y22?y0f(x,y)dx的积分次序．
6、计算二重积分7、计算累次积分8、计算二重积分9、计算二重积分
22D?{(x,y)(x?1)?(y?1)?2,y?x}． ，其中(x?y)dxdy??D?104dy?11?xdx． 3y1??Dy?xdxdy，其中D?{(x,y)x2?y2?1}．
??Dxdxdy，其中D?{(x,y)x2?y2?x}．
1?x2?y22210、计算二重积分??，其中D为dxdyx?y?1在第一象限的部分． 221?x?yD112?xy11?y33e2参考答案：1、；2、0；3、?1；4、5、 ?0dx?xf(x,y)dy；?0dy?0f(x,y)dx??12dy?0f(x,y)dx；14026、?
81842??1?；7、；8、；9、；10、?ln2??． 361532?2?第四章 微分方程
1．理解微分方程的定义及阶、解、通解等概念．
①定义：一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程．未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程．
②微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶． ③微分方程的解：设函数y??(x)在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上，
F[x,?(x),?'(x),?,??n?(x)]?0,那么函数y??(x)就叫做微分方程F(x,y,y?,?,y(n))?0在区间I上的解．
④微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．
⑤特解：确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解．
⑥微分方程的初始条件（初值问题）：设微分方程中的未知函数为y?y(x)，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是x?x0时，y?y0，或写成 y|x?x0?y0．其中x0，y0都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：x?x0时，y?y0，y'?y'0或写
- 35 -
2010年长江师范学院专升本考试《高等数学》复习资料 陈强编
成 y|x?x0?y0，y'|x?x0?y'0其中x0，y0和y'0都是给定的值．上述条件叫做初始条件．求微分方程y??f(x,y)满足初始条件y|x?x0?y0的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题．
2．熟练掌握可分离变量的微分方程、齐次微分方程及一阶线性微分方程的解法．
①可分离变量的微分方程：1）标准形式：g(y)dy?f(x)dx；2）解法：先分离变量，然后两边同时积分得通解．
例4-1
dydy?2xy，分离变量后得?2xdx，两端积分 dxy2dy2?y??2xdx,得lny?x?C1,
从而 y??ex?C1??eC1ex，所以通解为y?Cex．
dxdx2?ydy??y?2arctanx?C． 22??1?x1?x22例4-2 (1?x)yy??1?ydy?例4-3 xydx?(4?x)dy?0?2dyxdxdyxdx??????y?Cex(x?4)4． yx?4yx?4②齐次微分方程：1）标准形式：
?x?dy?y?dx?f??或?f??； dx?x?dy?y?2）解法：令u?ydydudu,即y?ux,求导得?u?x,代入得x?f(u)?u,最后再积分即得通解． xdxdxdx例4-4 解方程xy??y(1?lny?lnx)．
dyyyydydudu?(1?ln)，令u=，则 ?x?u，于是x?u?u(1?lnu) dxxxdxdxdxxdudx?分离变量 两端积分得 lnlnu?lnx?lnC． ulnuxlnu?Cx即u?eCx．故方程通解为 y?xeCx．
解 原式可化为例4-5 解方程xdy?y?x2?y2(x?0) 通解为y?xsin(lnCx)． dx?xy例4-6 解方程(1?e)ydx?(x?y)dy 通解为x?yexy?C．
③一阶线性微分方程
1）标准形式：y??P(x)y?Q(x)或x??P(y)x?Q(y)．
?P(x)dxP(x)dx?P(y)dyP(y)dy2）解法：ⅰ）公式法y?e?(Q(x)e?dx?C)或x?e?(Q(y)e?dy?C)；
??ⅱ）常数变意法 略．
2y?(x?1)2． 例4-7 解方程y??x?15- 36 -