2010年长江师范学院专升本考试《高等数学》复习资料 陈强编
由幂级数在x??R处的收敛性就可以决定它的收敛域是??R,R?,??R,R?,??R,R?,??R,R?这四个之一．
④收敛半径和收敛区间的求法
对于收敛半径的计算，可以利用下面这个定理： 定理 如果幂级数
?anxn当n充分大以后都有an?0，且limn?0?an?1??(0?????)，则
n??an? 当0?????时，R?1?；? 当??0时，R???；? 当????时，R?0．
xn例5-2 求幂级数?的收敛域．
n?1n?解 ∵liman?1n??an1?1n?1； ?lim?1 ∴R?1．当x?1时，级数成为?（发散）
n??1n?0nn?(?1)n当x??1时，级数成为?（收敛）∴收敛域为[?1,1)．
nn?1例5-3 求幂级数
?2n?1?xnn的收敛半径．
an?12n解：由于lim?limn?1?lim2n??an??n??2n练习5-1
1、判断下列级数的收敛性
n?n?1?20?1，所以该幂级数的收敛半径为R=1．
3n?1?2n?1①?n．因为limun?limnn??n??3?2n?1?1??2??1???3???3??2?1????3?nn?1n?????1?0，所以此级数发散．
3??114n?3n4n?3n??4??3?②?．因为，所以此级数收敛，且其和为． ?????????nn25555n?1n?1n?1??n?1???n③?1??11??11??1?11????????????????n???． 4582512125???????4n5???11因为此级数可看成???n，所以级数发散．
n?14nn?15- 41 -
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???3nn2n100nnn2?④?2n（收敛）；⑤?4tann（收敛）；⑥?（收敛）；⑦?n（收敛）；
32n!3n!n?1n?1n?1n?1?⑧
11?21?2?31?2???n． ???????（收敛）
23?44?5?6(n?1)(n?2)?(n?n)2、求下列幂级数的收敛半径
??(?x)nxn2n1?11?①?（R?2,??2,2?）；②?n（R???,(??,??)）；③?（R?,??,?）；
n222nn(n?1)??n?12nn?1n?1??1en?(?1)nn1?n?R?④??sinn?x（R=2）；⑤?（）． x2e2?nn?1?n?1?
第六章 线性代数
1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．
（1）排列：由1，2，?，n组成的一个有序数组称为一个n级排列．通常同j1j2?jn表示． （2）逆序及逆序数：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．排列j1j2?jn的逆序数记为?(j1j2?jn)． （3）二阶行列式：
a11a11a12a12a22a32a21a22?a11a22?a12a21．
a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31． a33（4）三阶行列式：a21a31a11a12?a1naa?a2n?（5）n阶行列式：2122?????an1an2?annj1j2?jn?(?1)?(j1?jn)a1j1a2j2?anjn．
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通常用D,Dn,aij,aij（6）行列式的性质
n?(aij)，detaij等表示n阶行列式．
性质1 行列式转置，其值不变．
性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号．
性质3 如果行列式中有两行（列）相同，则此行列式为0．（两行（列）相同指的是两行（列）对应元素都相等）．
性质4 行列式某行（列）元素的公因子可提到行列式符号的外面（相乘）． 推论 行列式中某一行（列）为零，则此行列式为零． 性质5 行列式中两行（列）成比例，则此行列式为0．
性质6 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式之和． 性质7 把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变． 注：1）设A，B均为n阶矩阵，一般地，A?B?B?A?A?B；
2）设A，B均为n阶矩阵，一般地，AB?BA，但是AB?BA?A?B； 3）设A为n阶矩阵，则kA?knA，切记kA?kA．
2．掌握四阶及其以内的行列式的计算．
①方法：用行列式的性质结合展开定理．
②定义：在行列式aij中划去元素aij所在的第i行与第j列，剩下(n?1)2个元素按原来的排法构成一个n?1级的行列式称之为元素aij的余子式，记为Mij．令Aij?(?1)余子式．
③展开定理：
i?jMij，称之为元素aij的代数
??Dl?j按j行展开,D?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj1）a1lA1j?a2lA2j???anlAnj??；
??0l?j?Dk?i按i行展开,即D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin2）ak1Ai1?ak2Ai2???aknAin??．
0k?i?12例6-1 D1?3423413412410110?210310234134124111?1021312341341241?10231000?23411?3?102?2?21?1?110002341?13?1. 60?0440?043．会用克莱姆（Cramer）法则．
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?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2①?（1），当b1,b2,?,bn不全为0时，称（1）为非齐次线性方程组；
????an1x1?an2x2???annxn?bn当 b1?b2???bn?0时，称（1）为齐次线性方程组．
②克莱姆（Cramer）法则：如果线性方程组（1）的系数行列式D?0，则方程组（1）有唯一解：
DD1D,x2?2,?,xn?n， DDD其中Dj(j?1,2,?,n)是把行列式D中第j列的元素用方程组（1）的常数项b1,b2,?,bn代换所得的一
x1?个n阶行列式．
?x1?x2?x3?x4?5?x?2x?x?4x??2?1234例6-2 用克莱姆（Cramer）法则求方程组?的解．
2x?3x?x?5x??2234?1??3x1?x2?2x3?11x4?0111112?14解：D???142?0，D1?2?3?1?5312115111?22?14??142，
?2?3?1?501211． D2??284，D3??426，D4?142．所以方程组有唯一解（1，2，3，－1）用此法求线性方程组的解计算量较大，克莱姆（Cramer）法则主要在理论上运用．
4．熟练掌握矩阵的线性运算及矩阵的乘法．
①矩阵的有关概念
定义：设F是一个数域，aij?F(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)，由这些数排成的一个表格
?a11??a21????am1a12a22?am2?a1n???a2n?称为一个m?n矩阵．记作：A?(aij)m?n,或Am?n．
?????amn??a1n??a22?a2n?称为n阶方阵. ?????an2?ann?a12?a11?a211）方阵：n?n阶矩阵?????an12）行矩阵和列矩阵：只有一行的矩阵叫做行矩阵；只有一列的矩阵叫做列矩阵. 3）零矩阵：所有元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作0m?n或0．
4）单位矩阵：主对角线上的元素都是 1，其它元素都是 0的方阵就称为单位矩阵，记做E或I.
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