第二讲：方程与不等式
第一关：考点点睛
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一元一次方程
考点一 方程解的应用
例1（2009·芜湖）已知方程3xx-9x+m=0的一个根是1，则m的值是 。
解题思路：根据方程解的定义，把方程的解x=1代入方程成立，然后解决关于m的方程即可， 解：把x=1代入原方程，得3×12-9×1+m=0， 解得m=6 答案：6
点评：解题依据是方程解的定义，解题方法是把方程的解代入原方程，转化为关于待定系数的方程。 考点二 巧解一元一次方程 例2（2008·江苏）解方程：
23?4?11??3x????8??x
4?324??2?? 解题思路：此题先用分配律简化方程，再解就容易了。 解：去括号，得
11311x??6?x 移项、合并同类项，得-x=6， 系数化为1，得x=-6
44242 点评：解一元一次方程，掌握步骤，注意观察特点，寻找解题技巧，灵活运用分配委或分数基本性质等，使方
程简化。
考点三 根据方程ax=b解的情况，求待定系数的值
例3已知关于x的方程
xx1?a??(x?6)无解，则a的值是（ ） 326 A.1 B.-1 C.±1 D.不等于1的数
解题思路：需先化成最简形式，再根据无解的条件，列出a的等式或不等式，从而求出a的值。 解：去分母，得2x+6a=3x-x+6， 即0·x=6-6a
因为原方程无解，所以有6-6a≠0， 即a≠1， 答案：D 考点四 一元一次方程的应用
例4（2009·福州）某班学生为希望工程共捐款131元，比每人平均2 元还多35元，设这个班的学生有x人，根据题意列方程为_________________。
解题思路：本题的相等关系是捐款总数相等，解决此题的关键是用学生人数、平均数与余数35元表示出捐款总数（2x+35）元。答案：2x+35=131
二元一次方程
考点1：二元一次方程及其解
例1：下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．
1y?2+4y=6 D．4x= x4思路点拨：掌握判断二元一次方程的三个必需条件：①含有两个未知数；②含有未知数的项的次数是1；③等
式两边都是整式．所以选D
例2：二元一次方程5a－11b=21 （ ）
A．有且只有一解 B．有无数解 C．无解 D．有且只有两解 思路点拨： 不加限制条件时，一个二元一次方程有无数个解．所以选B
考点2：二元一次方程组及其解
例1：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
?x?y?4 A．??2x?3y?7?2a?3b?11B.??5b?4c?6?x2?9C.??y?2x?x?y?8D.?2 ?x?y?4思路点拨：二元一次方程组的三个必需条件：①含有两个未知数，②每个含未知数的项次数为1；③每个方程都是整式方程．所以选A
例2：已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____． 思路点拨：由已知得x－1=0，2y+1=0，
?x?111?∴x=1，y=－，把?代入方程2x－ky=4中，2+k=4，∴k=1． 122y????2考点3：二元一次方程组的应用
例1 ：某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如表：
1 2 3 4 捐款（元）
7
6 7 人数 表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚． 若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组（ ）
?x?y?27?x?y?27A.? B.?
2x?3y?662x?3y?100???x?y?27?x?y?27C.? D.? ?3x?2y?66?3x?2y?100思路点拨：这是一道表格信息题，通过已知条件可发现两个等量关系：总人数为40人，总捐款金额100元．利用表格信息可列方程组??x?y?27，故应选A．
2x?3y?66?C 例2 ：如图，点O在直线AB上，OC为射线，?1比?2的3倍少10?，设?1，?2的度数分别为x,y,那么
下列求出这两个角的度数的方程是（ ）
?x?y?180?x?y?180A.? B.? ?x?y?10?x?3y?10?x?y?180?3y?180 C.? D.?
x?y?10x?3y?10??思路点拨：本题侧重考查学生的数形结合思想．已知条
件看似给了一个，其实还有一个隐含条件，即?1与?2互为邻补角．利用它们可列方程组?A
1 2 O B
?x?y?180，故应选B．
x?3y?10?
分式方程
考点1：分式的定义
例1：请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式
ｘ－4ｘｙ＋4ｙ ｘ－4ｙ ｘ－2ｙ
2222
A．1 B. 2 C.3 D.4 思路点拨：分母中含字母的代数式，
21,都是分式，其他都不是。 x?yxx2x2注意：（1）?除外 ；(2)分式是形式定义，如化简之后为x，但是分式。
xx答案：B
考点2：分式成立的条件
例1：写出一个含有字母x的分式（要求：不论x取任何实数，该分式都有意义） ． 案不惟一）
思路点拨：本题考查了分式成立的条件即分母不能为0
例2：分式
1（答x2?1x成立的条件是 x?2
思路点拨：分式成立的条件是分母即x-2≠0。答案：x≠2 考点3：分式值为0的条件
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例：若分式
x?2的值为0，则x的值为（ ） 2x?1A. 1 B. -1 C. ±1 D.2
思路点拨：应同时具备两个条件:（1）分式的分子为零;（2）分式的分母不为零。答案：D 考点4：分式的运算
例1：已知
112x?14xy?2y??3，则代数式的值为 xyx?2xy?y思路点拨：本类题主要考查分式的化简和代数式的值。在计算代数式的值时，一般先要求出其中字母的值再代
入计算，但有时字母的值不能求出或不好求出，可以利用整体代入的方法来计算。
这类题目一般都是先化简后代数。甚至有的不用代数。
x?12x1 ?2)?2x?1x?1x?1x?12x?]×(x+1)(x?1)＝(x?1)2?2x＝x2?1 ＝[x?1(x+1)(x?1)解：（∵当x=?2008或x=2008时，x2的值均为2008， ∴小明虽然把x值抄错，但结果也是正确的. 考点5.分式方程的解法
2x1??1 2x?32x?3解：方程两边同乘(2x?3)(2x?3)，得2x(2x?3)?(2x?3)?(2x?3)(2x?3),
化简，得4x??12,解得x??3,检验：x??3时(2x?3)(2x?3)?0，?3是原分式方程的解．
例1：解分式方程：
2(x?1)2x?1??6?0． 例2：解方程：
x2xx?13x?1x?13?y则原方程可化为2y2+y-6,解得y1?，y2=-2,即??2，?，解得x1?2，答案：设
2xxx211x2??．经检验，x1?2，x2??是原方程的根．
33思路点拨:解分式方程的基本思想是转化,即把分式方程转化为整式方程求解,具体步骤为“一去（去分母）、二
解（解整式方程）、三检验（检查求出的根是否是增根）”。转化的方法有两种:(1)方程两边同乘最简公分母;(2)换元.要注意的是解分式方程必须要检验. 考点6：分式方程的增根
例：当m? 时，关于x的分式方程
2x?m??1无解 x?3思路点拨：分式方程的增根是原分式方程去分母后转化为整式方程的根，它使得最简公分母为0，所以原分式方程无解或者说分式方程有增根答案：-6
一元二次方程
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