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母题十 导数的基本运算

【母题原题1】【2018天津，文10】

x??x?为f?x?的导函数，则f??1?的值为__________． 已知函数f?x??elnx,f 【答案】e

【解析】试题分析：首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果．

xx试题解析：由函数的解析式可得：f??x??e?lnx?e?11???ex?lnx??， xx??则f??1??e??ln1???e．即f??1?的值为e．

1??1?1?【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．

【母题原题2】【2017天津，文10】

已知a?R，设函数f(x)?ax?lnx的图象在点（1，f(1)）处的切线为l，则l在y轴上的截距为 ． 【答案】1

y?y0?f??x0??x?x0?．注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同,

谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点．

【母题原题3】【2016天津，文10】已知函数f(x)?(2x+1)ex,f?(x)为f(x)的导函数，则f?(0)的值为__________． 【答案】3 【解析】

f?(x)?(2x+3)ex,?f?(0)?3.

和任何人呵呵呵 方法方加加减减【名师点睛】求函数的导数的方法

(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导； (2)根式形式：先化为分数指数幂，再求导；

(3)复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导； (4)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；

(5)不能直接求导的：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．

【母题原题4】【2015天津，文11】已知函数f?x??axlnx,x??0,??? ,其中a为实数,f??x?为

f?x?的导函数,若f??1??3 ,则a的值为 ．

【答案】3

【解析】因为f??x??a?1?lnx? ,所以f??1??a?3． 【考点定位】本题主要考查导数的运算法则．

【名师点睛】本题考查内容单一,求出f??x??a?1?lnx?由,再由f??1??3可直接求得a的值,因此可以说本题是一道基础题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零分,故运算要特别细心．

【命题意图】主要考查导数的运算、导数的几何意义，考查代数式化简与变形能力、运算求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题能力．

【命题规律】导数的基本运算几乎是每年高考的必考内容，考查题型以选择题、填空题，有时出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．

常见的命题角度有：(1)求导函数值；(2)求切线方程；(3)求参数的值． 【答题模板】解答本类题目，以2018年高考题为例，一般考虑如下两步： 第一步：求导数得f??x??e?lnx?e?xx11???ex?lnx??，第二步：把x?1代入上式，得xx??1??f??1??e1??ln1???，即ef??1?的值为e．

1??【方法总结】

一、导数的代数意义及其几何意义

1．代数意义：函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率

?x?0limf(x0??x)?f(x0)?y叫做y=f（x）在x?x0处导数， ?lim?x?0?x?x和任何人呵呵呵 方法方加加减减记作f?(x0)或y?|x?x0,即f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0)?y ?lim?x?0?x?x?0?x2．几何意义：函数f（x）在点x0处的导数f?(x0)的几何意义是在曲线y=f（x）上点(x0,f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y?f(x0)?f'(x0)(x?x0)． 二、导数的四则运算

1．熟记基本初等函数的导数公式 2．导数的运算法则

（1）[cf(x)]?cf(x)；（2）?f(x)?g(x)??f'(x)?g'(x)；

'''?f(x)?f'(x)g(x)?f(x)g'(x)'''(g(x)?0)．（3）?f(x)?g(x)??f(x)g(x)?f(x)g(x)；（4）? ??2g(x)???g(x)?3．函数求导应先注意函数的定义域．

4．对复杂函数求导时应注意先对函数进行化简．

'

1．【2018陕西咸阳5月模拟】已知

是函数

的导函数，且对任意的实数都有，则（ ）

D．

（是自然对数的底数），

A． 【答案】D

B．

C．

【名师点睛】本题需要构造函数，一般：（1）条件含有

，就构造

,（2）若

，就构造，（3），就构造，（4）就构造

，等便于给出导数时联想构造函数．

2．【2018重庆三模】设函数

的导函数记为

，若

，则

和任何人呵呵呵 方法方加加减减（ ）

A． -1 B． C． 1 D． 3 【答案】D

【名师点睛】该题涉及到的知识点有正余弦的求导公式，同角三角函数关系式，还有就是函数在某点处的导数就是导函数在相应的点处的函数值，利用公式求得结果． 3．【2018辽宁丹东二模】已知函数A． 4或【答案】C

【解析】分析：根据函数的极值点和极值得到关于详解：∵

，∴

的方程组，解方程组并进行验证可得所求．

．

B． 4或

C． 4 D．

在

处取极值10，则

由题意得当∴

时，．故选C．

，即，解得

，故函数

或．

单调递增，无极值．不符合题意．

【名师点睛】（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．

（2）对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值． 4．【2018河南豫南九校模拟】已知函数数），对任意实数，都有A．

B．

C．

是函数，则不等式 D．

和任何人呵呵呵 的导函数，（其中为自然对数的底

的解集为（ ）