考研数学二历年真题及参考答案(2015-2003) 下载本文

?A?0 ?B?1. ?C?2 ?D?3

(2)曲线方程为y?f(x)函数在区间[0,a]上有连续导数,则定积分

?a0aft(x)dx( )

?A?曲边梯形ABOD面积. ?B?梯形ABOD面积. ?C?曲边三角形ACD面积. ?D?三角形ACD面积.

(3)在下列微分方程中,以y?C1ex?C2cos2x?C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是( )

?A?y'''?y''?4y'?4y?0 ?C?y'''?y''?4y'?4y?0

''' ?B?y''? y'?4y?4y?0

?D?y'''?y''?4y'?4y?0

(5)设函数f(x)在(??,??)内单调有界,?xn?为数列,下列命题正确的是( )

?A?若?xn?收敛,则?f(xn)?收敛. ?B?若?xn?单调,则?f(xn)?收敛. ?C?若?f(xn)?收敛,则?xn?收敛.

(6)设函数f连续,若F(u,v)?Duv

?D?若?f(xn)?单调,则?xn?收敛.

dxdy,其中区域Duv为图中阴影部分,则

?F? ?u??f(x2?y2)x2?y2?A?vf(u2)

?B?uvf(u2)

?C?vf(u) ?D?vf(u) u3(7)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵. 若A?0,则( )

?A?E?A不可逆,E?A不可逆. ?C?E?A可逆,E?A可逆.

?B?E?A不可逆,E?A可逆. ?D?E?A可逆,E?A不可逆.

?12?(8)设A???,则在实数域上与A合同的矩阵为( )

21????21?A????. ?1?2?

?2?1?B????. ??12??1?2??.

?21??1?cos[xf(x)](e?1)f(x)x2?C???21??. 12??

?D??二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 已知函数f(x)连续,且limx?0?1,则f(0)?____.

(10)微分方程(y?x2e?x)dx?xdy?0的通解是y?____.

(11)曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????. (12)曲线y?(x?5)x的拐点坐标为______. (13)设z??23?z?y?,则??x?x?xy(1,2)?____.

(14)设3阶矩阵A的特征值为2,3,?.若行列式2A??48,则??___.

三、解答题:15-23题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

sinx?sin?sinx??sinx???(15)(本题满分9分)求极限lim. x?0x4 (16)(本题满分10分)

?dxx?x(t)??2te?x?0??设函数y?y(x)由参数方程?确定,其中x(t)是初值问题?dtt2y??ln(1?u)du??xt?0?00???2y的解.求2.

?x (17)(本题满分9分)求积分 (18)(本题满分11分)

求二重积分

?1xarcsinx1?x20dx.

??max(xy,1)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}

D (19)(本题满分11分)

设f(x)是区间?0,???上具有连续导数的单调增加函数,且f(0)?1.对任意的

t??0,???,直线x?0,x?t,曲线y?f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成

一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍,求函数f(x)的表达式. (20)(本题满分11分)

(1) 证明积分中值定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点??[a,b],使得

?baf(x)dx?f(?)(b?a) (2)若函数?(x)具有二阶导数,且满足

32?(2)??(1),?(2)???(x)dx,证明至少存在一点??(1,3),使得???(?)?0

(21)(本题满分11分)

求函数u?x2?y2?z2在约束条件z?x?y和x?y?z?4下的最大值与最小值. (22)(本题满分12分)

22?2a1?2a2a设矩阵A????a2????,现矩阵A满足方程AX?B,其中X??x,11??2a?n?n,xn?,

TB??1,0,,0?,

n(1)求证A??n?1?a;

(2)a为何值,方程组有唯一解,并求x1; (3)a为何值,方程组有无穷多解,并求通解. (23)(本题满分10分)

设A为3阶矩阵,向量?3满足A?3??2??3, ?1,?2为A的分别属于特征值?1,1特征向量,(1)证明?1,?2,?3线性无关; (2)令P???1,?2,?3?,求PAP.

?12007年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题:1~10小题,每小题4分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题

目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)当x?0时,与x等价的无穷小量是

? (A)1?ex (B)ln1?x (C)1?x?1 (D)1?cosx [ ]

1?x(ex?e)tanx(2)函数f(x)?在???,??上的第一类间断点是x? [ ] 1??x?ex?e????? (A)0 (B)1 (C)? (D)

22(3)如图,连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间??2,0?,?0,2?的图形分别是直径为2的下、上半圆周,设F(x)?论正确的是:

?x0f(t)dt,则下列结

(A)F(3)??35F(?2) (B) F(3)?F(2) 4435(C)F(3)?F(2) (D)F(3)??F(?2) [ ]

44

(4)设函数f(x)在x?0处连续,下列命题错误的是:

f(x)f(x)?f(?x)存在,则f(0)?0 (B)若lim存在,则f(0)?0 .

x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x) (C)若lim存在,则f?(0)?0 (D)若lim存在,则f?(0)?0.

x?0x?0xx (A)若lim [ ] (5)曲线y?1?ln?1?ex?的渐近线的条数为 x(A)0. (B)1. (C)2. (D)3. [ ] (6)设函数f(x)在(0,??)上具有二阶导数,且f??(x)?0,令un?f(n),则下列结论正确的