（2）设函数
得
y1，
y2?是一阶非齐次微分方程y?p(x)y?q(x)的两个特解，若常数?，?使
?y1??y2是该方程的解，
?y1??y2是该方程对应的齐次方程的解，则（ ）
（A）
??1111????????2，2 （B）2，2 2122??????3，3 （D）3，3
（C）
??2y?x（3）曲线与y?alnx（a?0）相切，则a?（ ）
（A）4e （B）3e （C）2e （D）e
（4）设m、n为正整数，则反常积分
?1m0ln2(1?x)nxdx的收敛性（ ）
（A）仅与m有关 （B）仅与n有关 （C）与 m、n都有关 （D）与 m、n都无关 （5）设函数z?z(x,y)由方程
F(yz,)?0F??0xx确定，其中F为可微函数，且2。则
?z?z?y??x?y（ ）
（A）x （B）z （C）?x （D）?z
x（6）
lim??n??i?1nn?22(n?i)(n?j)j?1（ ）
x1111dydxdy2??00(1?x)(1?y) （B）(1?x)(1?y) 1111dydxdy(1?x)(1?y) （D）?0?0(1?x)(1?y2)
n（A）
??10dx?dx?010x0（C）
（7）设向量组
（ ）
I:?1,?2,...,?r可由向量组
II:?1,?2,...,?s线性表示，下列命题正确的是
（A）若向量组I线性无关，则r?s （B）若向量组I线性相关，则r?s （C）若向量组II线性无关，则r?s （D）若向量组II线性相关，则r?s
（8）设A是4阶实对称矩阵，且A?A?O，若R(A)?3，则A相似于（ ）
2?1??1?????11????????1?1????00? （B）?? （A）??1???1??????1?1?????????1?1????0?0???（C） （D）
二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上）
??????（9）3阶常系数齐次线性微分方程y?2y?y?2y?0的通解为 y?
2x3y?2x?1的渐近线方程为 （10）曲线
(n)y?ln(1?2x)y(0)? x?0n（11）函数在处的阶导数
???e0????（12）当时，对数螺线的弧长为
（13）已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l?12cm，
w?5cm时，它的对角线增加速率为
?1?1A?B?2A?B?A?3B?23AB（14）设，为阶矩阵，且，，则
三、解答题（15～23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。） （15）（本题满分10分）
求
f(x)??x21(x2?t)e?tdt2的单调区间与极值。
（16）（本题满分10分）
（I）比较
?10lnt?ln(1?t)?dt1n与
n?10tnlntdt（n?1,2,3,...）；
（II）记
un??lnt?ln(1?t)?dt0（n?1,2,3,...），求n??limun。
（17）（本题满分11分）
?x?2t?t2?y??(t)（t??1）所确定，其中?(t)具有二阶导数，且y?f(x)设函数由参数方程?d2y35??(1)?24(1?t)，求函数?(t)。 2，??(1)?6。已知dx
（18）（本题满分10分）
一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中
3b2油面高度为时（如图），计算油的质量。
（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数?kg/m）
3
（18题图）
（19）（本题满分11分）
?2u?2u?2u42?12?52?0?x?y?y设函数u?f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式?x，确定a，b???x?ay?2u?0???x?by的值，使等式在变换?下简化为????。
（20）（本题满分10分）
计算二重积分
I???r2sin?1?r2cos2?drd?DD?{(r,?)0?r?sec?,0???，其中
?4。
}
（21）（本题满分10分）
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，f(0)?0，
f(1)?13。证明：存
在
??(0,)11??(,1)222，2，使得f?(?)?f?(?)????。
（22）（本题满分11分）
11????a?????A??0??10?b??1??1??1?1?????，已知线性方程组Ax?b存在两个不同的解。 设，
（I）求?，a； （II）求Ax?b的通解。
（23）（本题满分11分）
?0?14???A???13a?1(1,2,1)TT?4a0???，正交矩阵Q使得QAQ为对角矩阵，若Q的第一列为6设，
求a，Q。
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题