（16）（本题满分11分）
如图，C1和C2分别是y?1(1?ex)和y?ex的图象，过点(0,1)的2曲线C3是一单调增函数的图象. 过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly. 记C1,C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2,C3与
ly所围图形的面积为S2(y).如果总有S1(x)?S2(y)，求曲线C3的方程x??(y).
（17）（本题满分11分）
如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 （18）（本题满分12分）
用变量代换x?cost(0?t??)化简微分方程(1?x2)y???xy??y?0，并求其满足
?(x032?x)f???(x)dx.
yx?0?1,y?x?0?2的特解.
（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：
（I）存在??(0,1), 使得f(?)?1??；（II）存在两个不同的点?,??(0,1)，使得
f?(?)f?(?)?1.
（20）（本题满分10分）
?2ydy，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域已知函数z=f(x,y) 的全微分dz?2xdxy2D?{(x,y)x??1}上的最大值和最小值.
42（21）（本题满分9分）
计算二重积分
??Dx2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.
（22）（本题满分9分）
确定常数a,使向量组
?1?(1,1,a)T,?2?(1,a,1)T,?3?(a,1,1)T可由向量组
?1?(1,1,a)T,?2?(?2,a,4)T,?3?(?2,a,a)T线性表示，但向量组?1,?2,?3不能由向量组
?1,?2,?3线性表示.
（23）（本题满分9分）
?123???已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B?246（k为常数），????36k??且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.
2004年考硕数学（二）真题
一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）
（1）设f(x)?lim(n?1)x, 则f(x)的间断点为x? .
n??nx2?13??x?t?3t?1（2）设函数y(x)由参数方程 ? 确定, 则曲线y?y(x)向上凸的x取值范围
3??y?t?3t?1为____..
（3）
?1??dxxx?12?_____..
?z?z??______. ?x?y（4）设函数z?z(x,y)由方程z?e2x?3z?2y确定, 则3（5）微分方程(y?x3)dx?2xdy?0满足y?x?16的特解为_______. 5?210??????（6）设矩阵A??120?, 矩阵B满足ABA?2BA?E, 其中A为A的伴随矩阵,
?001???E是单位矩阵, 则B?______-.
二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把x?0时的无穷小量????0xcostdt, ???tantdt, ???sint3dt排列起来,
002x2x使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是
（A）?,?,?. （B）?,?,?.
（C）?,?,?. （D）?,?,?. （8）设f(x)?x(1?x), 则
（A）x?0是f(x)的极值点, 但(0,0)不是曲线y?f(x)的拐点. （B）x?0不是f(x)的极值点, 但(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （C）x?0是f(x)的极值点, 且(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （D）x?0不是f(x)的极值点, (0,0)也不是曲线y?f(x)的拐点.
??
??
（9）limlnn(1?)(1?)n??1n22n2n(1?)2等于
n21（A）（C）2?12ln2xdx. （B）2?lnxdx.
?12ln(1?x)dx. （D）?ln2(1?x)dx
12??
（10）设函数f(x)连续, 且f?(0)?0, 则存在??0, 使得
（A）f(x)在(0,?)内单调增加. （B）f(x)在(??,0)内单调减小. （C）对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0).
（D）对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0). （11）微分方程y???y?x2?1?sinx的特解形式可设为
（A）y??ax2?bx?c?x(Asinx?Bcosx). （B）y??x(ax2?bx?c?Asinx?Bcosx). （C）y??ax2?bx?c?Asinx.
（D）y??ax2?bx?c?Acosx （12）设函数f(u)连续, 区域D?(x,y)x?y?2y, 则
??
??
?22???f(xy)dxdy等于
D（A）
??1dx??1?x?0dy?0?211?x22f(xy)dy. f(xy)dx.
（B）2（C）（D）
2y?y2?0d??2sin?02sin?f(r2sin?cos?)dr.
f(r2sin?cos?)rdr ??0d??0??
（13）设A是3阶方阵, 将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ?C的可逆矩阵Q为
?010??010?????（A）?100?. （B）?101?.
?101??001??????010??011?????（C）?100?. （D）?100?.
?011??001?????（14）设A,B为满足AB?0的任意两个非零矩阵, 则必有
（A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （B）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. （C）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.
（D）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.
??
??
三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）
（15）（本题满分10分）
1求极限lim3x?0x??2?cosx?x?????1?.
3??????（16）（本题满分10分）
??,?设函数f(x)在（?）上有定义, 在区间[0,2]上, f(x)?x(x2?4), 若对任意的x都
满足f(x)?kf(x?2), 其中k为常数.
(Ⅰ)写出f(x)在[?2,0]上的表达式; (Ⅱ)问k为何值时, f(x)在x?0处可导.