专题33数列求和

最新考纲

1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式． 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.

基础知识融会贯通

1．等差数列的前n项和公式 n?a1＋an?n?n－1?Sn＝＝na1＋d.

222．等比数列的前n项和公式 na1，q＝1，??

Sn＝?a1－anqa1?1－qn?

＝，q≠1.?1－q?1－q3．一些常见数列的前n项和公式 n?n＋1?

(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝.

2(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2. (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1)． n?n＋1??2n＋1?

(4)12＋22＋…＋n2＝. 6【知识拓展】 数列求和的常用方法 (1)公式法

直接利用等差、等比数列的求和公式求和． (2)分组转化法

把数列转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项公式 ①②

111

＝－；

n?n＋1?nn＋1

1111

＝?2n－1－2n＋1?；

??2n－1??2n＋1?2?

③

＝n＋1－n.

n＋n＋1

1

(4)倒序相加法

把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法

主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和． (6)并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

重点难点突破

【题型一】分组转化法求和

【典型例题】

数列，，，…，

的前n项和为Sn＝（ ）

A． B．

2n

C． D．

【解答】解：数列1，2，3，…的前n项和为Sn＝（1+2+3+…+n）+（）

（）

．

故选：C．

【再练一题】

已知数列{an}的通项公式是an（n∈N*），若|a1|+|a2|+…+|an|＝80，则n

的值是 ．

【解答】解：∵数列{an}的通项公式是an∴n≤3时，an＝2n+4．

n≥4时，an＝﹣3+an﹣1，即an﹣an﹣1＝﹣3．

∴此时数列{an}为等差数列，首项a4＝a3﹣3＝23+4﹣3＝9，公差为﹣3． ∴an＝9﹣3（n﹣4）＝21﹣3n．

a5＝6，a6＝3，a7＝0，n≥8时，|an|＝3n﹣21． ∵|a1|+|a2|+…+|an|＝80，

∴2+4+22+4+23+4+9+6+3+0+（3×8﹣21）+（3×9﹣21）+……+（3n﹣21）＝80， （3×8﹣21）+（3×9﹣21）+……+（3n﹣21）＝36， ∴

36，

（n∈N*），

化为：（n﹣12）（n﹣2）＝0，n≥8． 解得n＝12． 故答案为：12．

思维升华 分组转化法求和的常见类型

(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．

??bn，n为奇数，

(2)通项公式为an＝?的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可

?cn，n为偶数?

采用分组求和法求和．

提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．

【题型二】错位相减法求和

【典型例题】

已知{an}为正项等比数列，a1+a2＝6，a3＝8． （1）求数列{an}的通项公式an； （2）若bn

，且{bn}前n项和为Tn，求Tn．

【解答】解：（1）{an}为正项等比数列，公比设为q，q＞0，a1+a2＝6，a3＝8．

可得a1+a1q＝6，a1q2＝8， 解得a1＝q＝2， 即an＝2n； （2）bn

n?（）n，

Tn＝1?2?

n?（）n，

Tn＝1?2?

n?（）n+1，

相减可得Tn

（）n﹣n?（）n+1

n?（）n+1，

化简可得Tn＝2﹣（n+2）（）n． ?

【再练一题】

已知在数列{an}中，a1＝2，2n（an+an+1）＝1，设Tn＝a1+2a2+…+2n1an，bn列{bn}的前n项和Sn＝ ． 【解答】解：由题意可知

因为Tn＝a1+2a2+…+2n1an，所以2Tn＝2a1+22a2+…+2nan，

两式相加3Tn＝a1+2（a1+a2）+22（a1+a2）+…+2n1（an﹣1+an）+2nan

﹣

﹣

﹣

，数

所以

，

从而

故答案为：2n+1﹣2．

．