错误解答 因为

f?(x)?2(x?a)?(x)?(x?a)2??(x)，

f??(x)?2?(x)?2(x?a)??(x)?2(x?a)??(x)?(x?a)2???(x)，

所以f??(a)=2?(a)．

错解分析 此解法错误的根源在于?(x)的一阶导函数有界并不能保证?(x)二阶可导．而上述求解却要用到???(x)．

注 此题用到如下结论：

a．有界量与无穷小的乘积仍为无穷小；b．可导必连续．

f?(x?a)例4 设f(x)的一阶导数在x?a处连续且lim?1，则x?0x（ ）．

A．f(x)在x?a处的二阶导数不存在． B．limf??(x?a)一x?0定存在．

C．f??(a)?1． D．f?(a)?2．

f?(x?a)解 因为lim所以lim由于f?(x)在x?a处f?(x?a)?0，?1，x?0x?0x连续，故

f?(a)?0．

f?(x?a)?f?(a)f?(x?a)?lim?1，所以f??(a)?1．选C． 又因为limx?0x?0(x?a)?ax

例5 设f(x)在x?0的某个邻域内有定义，x、y为该邻域

内任意两点且f(x)满足条件：

（1）f(x?y)?f(x)?f(y)?1； （2）f?(0)?1．

试证在上述邻域内f?(x)?1．

分析 此处无法用求导公式和求导法则证明f?(x)?1．由于f(x)的表达式未给出，故只能考虑从定义出发．如果用条件（2），则需先求出f(0)．

证明 因为f(x)在x?0的某个邻域内有定义，记该邻域为

1y?0，则E，则对任意x、y?E，有f(x?y)?f(x)?f(y)?．令

．于是对任意x?E，当x??x?E及?x?E时，考虑下列极f(0)??1限

f(x??x)?f(x)[f(x)?f(?x)?1]?f(x)= limlim?x?0?x?0?x?xf(?x)?(?1)=?lim x?0?xf(?x)?f(0)=?lim x?0?x=f?(0)=1，

故f?(x)?1，x?E．

例6（04研） 设函数f(x)连续，且f?(0)?0，则存在??0，使得（ ）．

A．f(x)在(0,?)内单调增加． B．f(x)在(??,0)内单调减少．

C．对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0)． D．对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0)．

解 由导数定义知

f(x)?f(0)f?(0)?lim?0． x?0x?0根据极限的保号性，知存在??0，当x?(??,0)f(x)?f(0)?0．

x(0,?)时，有

因此

当x?(??,0)时，有f(x)?f(0)；当x?(0,?)时，有f(x)?f(0)，故选C．

注 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，题设告诉函数在一点可导时，一般应联想到用导数的定义进行讨论．

例7 设不恒为零的奇函数f(x)在x?0处可导．试说明x?0为函数

f(x)x的哪一类间断点．

解 由题设知f(?x)??f(x)，令x?0可得f(0)?0．则

limx?0f(x)xf(x)?0=lim=f?(0)， x?0x?0于是

f(x)x在x?0处有极限．从而x?0是

f(x)x的可去间断点．

例8 设函数f(x)可导，F(x)?f(x)(1?sinx)，则f0)(0?是F(x)在

． x?0处可导的（ ）

A．充分必要条件 ． B．充分条件但非必要条件．

C．必要条件但非充分条件． D．既非充分条件又非必要条件．

分析 F(x)表达式中含有绝对值符号，又要考查函数在一点的导数的存在性，因此要考虑函数的左右导数．

解 由导数定义

F(x)?F(0)， F?(0)?limx?0x?0知

F??(0)?lim?x?0F(x)?F(0)f(x)(1?sinx)?f(0) ?limx?0?x?0xf(x)?f(0)f(x)sinx ?limx?0?x?0x?lim?x?0?f??(0)?f(0)?f?(0)?f(0)，

F??(0)?lim?x?0F(x)?F(0)f(x)(1?sinx)?f(0) ?limx?0?x?0x?f??(0)?f(0)?f?(0)?f(0)，

可见F?(0)存在?F??(0)?F??(0)，即f(0)?0.故选A．

例9（01研） 设f(0)?0，则f(x)在点x?0可导的充要条件

为（ ）．

1A．limh?02hh1C．limh?02f(1?cosh)存在． f(h?sinh)存在．

1 B．limf(1?eh)存在． h?0h1 D．lim [f(2h)?f(h)]存在．h?0h分析 本题主要考查导数的定义，另外也考查了某些无穷小量的阶以及它们的正负号．

解 注意到1?cosh?0，且lim(1?cosh)?0． h?01如果limh?02h1 limh?02f(1?cosh)存在．则

?f(1?cosh)?f(0)1?cosh?f(1?cosh)?lim??2? h?0h1?cosh?0h??f(1?cosh)?f(0)1?cosh ?lim ?lim2h?0h?01?cosh?0h1f(1?cosh)?f(0)1f(u)?f(0)1?lim?lim?f??(0)2h?01?cosh?02u?0?u?02．

所以A成立只保证f??(0)存在，而不是f?(0)存在的充分条件．

1如果limf(1?eh)存在，则 h?0h?f(1?eh)?f(0)1?eh?1hlimf(1?e)?lim??? hh?0hh?01?e?0h??f(1?eh)?f(0)1?eh?lim?limh?0h?01?eh?0h

?(?1)limu?0f(u)?f(0)??f?(0)， u?0故B是f?(0)存在的充要条件．

对于C，

1f(h?sinh)?f(0)h?sinh， f(h?sinh)??h2h?sinh?0h2