高等数学（上）

第一章 函数与极限

1.

?6?设

?4??

4???|sinx|,|x|??3?(x)????0,|x|?3?, 求

????????????、???、????、?(2).

??1?()?sin?662

2??2?()?sin?442??2?(?)?sin(?)?4??2??04

22. 设f?x?的定义域为?0,1?，问：⑴f?x?； ⑵f?sinx?；

⑶f?x?a??a?0?； ⑷f?x?a??f?x?a? ?a?0?的定义域是什么？

1?； （1）0?x?1知－1?x?1,所以f(x)的定义域为?－1，22(2)由0?sinx?1知2k??x?(2k?1)?(k?Z),?2k?,(2k?1)??所以f(sinx)的定义域为

?－a,1?a?所以f(x?a)的定义域为?0?x?a?1?－a?x?1?a(4)由?知?从而得0?x?a?1a?x?1?a??1?a,1?a?当0?a?时，定义域为21当a?时，定义域为?2(3)由0?x?a?1知－a?x?1?a

3. 设

?1?f?x???0??1?x?1x?1x?1，g?x??e，求f?g?x??和g?f?x??，

x并做出这两个函数的图形。

?1,g(x)?1?1,x?0??1.)f[g(x)]??0,g(x)?1从而得f[g(x)]??0,x?0???1,x?0?1,g(x)?1??2.)g[f(x)]?ef(x)?e,x?1????1,x?1??1??e,x?1

4. 设数列

limxnyn?0.n???xn?有界, 又

limyn?0,n?? 证明:

M???xn?有界，??M?0,对?n,有xn?M又?limyn?0,即???0,?N(自然数)，当n?N时，有yn?n??从而xnyn?0?xn.yn?M.?M?? ?结论成立。5. 根据函数的定义证明:

⑴

lim?3x?1??8x?3

????0,要使3x?1?8?3x?3??,只要x?3?即可。3故???0,取?＝，当0?x?3??时，恒有3x?1?8??成立3所以lim(3x?1)?8x?3?

(2)

x???limsinxx?0

1???0,要使sinxx?x??,只要x?sinxx?即可。故取X?2sinxx?01?2，

当x?X时，恒有?0??成立,所以limx?36. 根据定义证明: 当x?0时,函数y?1?x2x是无穷大.问x应满足什么条件时,才能使

y?10?

4?M?0,要使故取?＝1?2x111?2???2?M,只要x?即可。xxxM?2，当0?x??时，有1?2x?M成立x?M?21?2x所以lim??x?0x

要使y?104,只要x?1即可。104?27. 求极限: ⑴

x2?3limx?3x2?1=0

⑵ ⑶

2?x?h??x2limh?0h=limh(2xh?h)?2x

h?0x2?xlim4x??x?3x2?1=0

=

n(n?1)12lim?n??2n2(4) (5) (6)

lim1?2????n?1?n??n2

3??1lim???x?11?x1?x3??=

1?x?x2?3lim??1x?1(1?x)(1?x?x2)limx3?2x2x?2?x?2?2=?

8. 计算下列极限: ⑴ ⑵

limx2sinx?01x=0 =lim1.arctanx?0 xx??limarctanxx??x9. 计算下列极限: ⑴ ⑵ ⑶

limsin?xx?0x?x=limsin.??? ?xx?0limtan3xx?0x1=limsinx3x.cos?3 3xx?01?cos2xlimx?0xsinx3x=

2sin2xlim?2x?0x.sinxx?2?2?lim?(1?)?x?0x??

?e?62?(4)lim??1??= xx???6??