16.1 二次根式

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、理解二次根式的概念，并利用2、理解aa（a≥0）的意义解答具体题目.

a（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简.

【重点难点】 1、二次根式的性质.

2、能确定二次根式中字母的取值范围.

知识概览图

二次根式的有关概念

二次根式：一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式

代数式：由基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式

①被开方数a非负，即a≥0 ②a本身非负，即a≥0

二次根式的双重非负性

二次根式二次根式的性质

(a)2?a(a≥0) (a)?2二次根式的有关公式 （a2）=a（a≥0）

?a(a＞0)??a??0(a?0)

??a(a＜0)?2a(a≥0)2

新课导引

a如右图所示，电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越视节目的区域就越广．如果电视塔高h km，电视节目信号的传播

远，从而能收到电半径为r km，则它

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们之间存在近似关系式，r=

2Rh，其中R是地球半径，R≈6400 km．若某个电视塔高为200 km，

则从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少?

【问题探究】 因为R≈6400 km，h＝200 km，所以求传播半径r，实际上就是求的值，即求25600002?6400?200的值．怎么求2560000的值呢?

＝1600．

【解析】因为16002＝2560000，所以所以r ≈教材精华

知识点1 二次根式的概念 一般地，我们把形如a2?6400?2002560000=1600(km) (a≥0)的式子叫做二次根式．其中“”．如，1.443”读作“二次根号”．

”，虽然16 拓展 (1)二次根式必须含有二次根号“二次根式

16，16等都有“=4，但是4是

的计算结果，因此16，121，94等也都是二次根式.

a (2)二次根式中的被开方数a既可以表示一个数，也可以表示一个代数式，但前提是必须保证有意义，即a≥0，也就是说，被开方数必须是非负数．例如：有a2≥0，所以a2a2，因为无论 a取什么实数，都

”，

是二次根式．而?x?1，?2x?122都不是二次根式，因为它们虽然都有“但是它们的被开方数都是负数，是没有意义的．因此判别二次根式时，不仅要从表达形式上看是否存在“

”，而且应注意看被开方数是否是非负数，如果被开方数中含有字母，那么就要考虑字母

的取值范围．

(3)“做0．如3”的根指数为2，即“22”，我们常省略根指数2，写作“”，不要误把“”的根指数当

就不是二次根式，因为它的根指数是3．

(4)有理数(不是0)与二次根式相乘，把有理数写在二次根式的前面，省略乘号．若有理数是分数，一定要化成假分数再与二次根式相乘，比如：2理数称为二次根式的系数.

23与5相乘，要写成835的形式，此时的有第2页

知识点2 确定二次根式中字母的取值范围 要使范围，如a有意义，被开方数a就必须是非负数，即a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值

，只有当2x+1≥0，即x≥?122x?1时，二次根式2x?1才有意义. 再如，对于式子

3?xx?1来说，只有当?

?3?x?0,?x?1?0,即-1＜x≤3时，二次根式才有意义.

拓展 对于既含有二次根式，又含有分母的代数式，写字母的取值范围时，既要保证二次根式有意义，又要保证分母不为零.

知识点3 二次根式的性质 二次根式的双重非负性: 由算术平方根的定义可知

（

aaa≥0，a≥0，因为3a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，所以

≥0，如a，32等都是非负数.

)2=a（a≥0）. 由于

（a≥0）表示非负数a和算术平方根，将非负数a的算术平方根

a平方，就等于它本身a，因此有（拓展 （1）（方数.

（2）把（aa)2=a，例如：（3)2=3，（6)2=6，（1.5)2=1.5.

)2=a（a≥0），可以看做是系数为1的二次根式的平方运算，结果等于被开

)2=a（a≥0）逆用，写成a=（a)2（a≥0）. 即任何一个非负数都可以写成它

的算术平方根平方的形式，利用这一特性，我们可以在实数范围内分解因式，比如：x2-2在有理数范围内无法分解，但在实数范围内，2可以写成（2)2，所以x2-2=x2-（2)2=（x+2）（x-2）.

（3）有理数的运算律和运算法则在有关二次根式的计算中仍然适用. 比如： （3

2)2=32×（2)2=9×2=18. （126)2=（

12)2×（6)2=

14×6=

32等，则用到了积的乘方法则

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（ab)2=a2b2.

知识点4 由于

a2a2的化简 a2表示a2的算术平方根，所以的化简结果必须是个非负数. 而当a2a2有意义时a2

（a≥0），这里a可以正，可以负，也可以是0. 为了保证中添加绝对值符号，即

a2的化简结果非负，所以在化简结果(?5)2?a，然后再根据a的符号化简绝对值. 比如：(?5)2??5?5. 也可

以先把被开方数写成非负数的平方的形式，再化简，比如?a(a?0),?a??0(a?0),?a(a?0).??52?5. 如果a2中a的符号

不确定，那么要讨论. 即a2=

拓展 （ a)2与a2的区别与联系，如下表所示：

a（)2 a2 字母a 被开方数a的取值范围为a≥0，即a被开方数a2中的a可取一切实数，也就是的取值 是一个非负数，且（范围 不同 (2)2a)2=a. 例如：说，a既可以是正数，也可以是负数，还?2)2?2，(0)2?0，(无意可以是零. a=3时，(?3)2a2=?a(a?0),a????a(a?0).例如当义 32?3?3，当a=-3时??3?3 意义 不同 （a)2=a（a≥0）表示a的算术平5)2a2?a表示a的平方的算术平方根. 例?9?3 方根的平方. 例如(?5表示5的如：32表示3的平方的算术平算术平方根的平方，结果等于5 形式 不同 (a)2方根，结果等于3 a2?a（a≥0），其结果只有一?a，其结果有两种形式，与a的取a2种形式，就是非负数a本身 值有关，当a≥0时，?a，当a＜0第4页