?OSM?30?，?SO?233,OH?，即为O到平面ABC的距离，故选A． 33x2y212．【解析】设p(m,n),Q(x,y),双曲线M:2?2?1,实轴的两个顶点A(?a,0),B(a,0)，abQA?(?x?a,?y),PA?(?m?a,?n)，∵QA⊥PA，∴（-x-a）（-m-a）+ny=0，可得m?a??ny,同x?an2y2ny22理根据QB⊥PB，可得m?a??，两式相乘可得m?a?2，∵点P（m，n）为双曲线M上2x?ax?ax2b2y2m2n2b2222除A、B外的一个动点，?2?2?1 整理得n?2(m?a) ， 2?4?1，故选C． abaaa二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。 13.

1111n?1π

1????.....?? 14. 2. 15. 16.3 162342n?1?12n?113. 【解析】观察不等式左边最后一项的分母3,7,15，…，通项为2?1，不等式右边为首项为1，公

1111n?11?差为的等差数列，故猜想第n个不等式为1????.....?n?1

2342?122答案：

1111n?11????.....?n?1?

2342?1214. 【解析】由于f(x)是定义在R上的周期为3的函数，所以f(2 015)＋f(2 016)＝f(672×3-1)＋

f(672×3+0)＝f(-1)＋f(0)，而由图像可知f(-1)＝2，f(0)＝0，所以f(2 015)＋f(2 016)＝2＋0＝2.

15. 【解析】如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足

(x?2)2?(y?2)2?4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界),∴

1??22?4P?1?所求的概率4?416.

116. 【解析】由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为3，即

m?n22?3所以

1m?n为3.

22?1111?2mnmn?A(,0),B(0,)3，所以6，又mn，所以?AOB的面积为

1?3，最小值2mn三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. 解：（Ⅰ）由周期T?2πππ2π??,得T?π?,所以??2. ………………2分 362?πππππ当x?时，f(x)?1，可得sin(2???)?1.因为??,所以??.故f(x)?sin(2x?).

6626612数学试题（文科） 第 9页，共 13页

………4分

由图像可得f(x)的单调递减区间为?kπ???π2π?,kπ??,k?Z. ……………6分 63?A?π6.…………8分

Aππ1?)?)?1, 即sinA?,又A为锐角,∴212623?,?sinB?1?cos2B?. ……………9分 ，00??BB??π?5?sinC?sin(??A?B)?sin(A?B) …………10分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，sin(2(?sinAcosB?cosAsinB?14334?33. …………12分 ????25251018.解：（Ⅰ）抽取的15人的成绩茎叶图如图所示， …………3分 由样本得成绩在90以上频率为数约为

2，故志愿者测试成绩在90分以上（包含90分）的人152?1500=200人. …………5分 15（Ⅱ）设抽取的15人中，成绩在80分以上（包含80分）志愿者为A,B,C,D,E,F,其中E，F的成绩在90分以上（含90分）， …………6分

成绩在80分以上（包含80分）志愿者中随机选3名志愿者的不同选法有：{A，B，C}，{A，B，

D}，{A，B，E}，{A，B，F}，{A，C，D}，{A，C，E}，{A，C，F}，{A，D，F}，

{A，D，E}，{A，E，F}，{B,C,D},{B,C,E},{B,C,F}，{B，D，E}，{B，D，F}，{C，D，E}，{C，D，F}，{D，E，F}，{B，E，F},{C，E，F}共20种，………8分 其中选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的不同取法有：{A，B，E}，{A，B，F}，{A，C，

E}，{A，C，F}，{A，D，F}，{A，D，E}，{B,C,E},{B,C,F}，{B，D，E}，{B，D，F}，{C，D，E}，{C，D，F}共12种， …………10分

123=. …………12分 20519．解：（Ⅰ）证明：因为AA1?底面ABC，所以AA1?BD……………2分 因为底面ABC正三角形，D是AC的中点,所以BD?AC……………4分

A1因为AA1?AC?A，所以BD?平面ACC1A1………………5分

∴选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的概率为

因为平面BD?平面BC1D,所以平面BC1D?平面ACC1A1…………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知?ABC中，BD?AC，BD?BCsin60??33 所以S?BCD?C1B1OCD193 ………………………………9分 ?3?33?BA22193所以VC?BC1D?VC?C1BD???6?93 ………………………12分

3221112220.解：（Ⅰ）由题意得 2a?,2b?,?a?,b? ?9x?16y?1 …………4分

32341（Ⅱ）当直线l?x轴时，因为直线与圆相切，所以直线l方程为x??。 …………5分

5数学试题（文科） 第 10页，共 13页

当l:x?分

?1?11??11?时，得M、N两点坐标分别为?,?,?,??，?OM?ON?0,??MON?………652?55??55?1?时，同理?MON?； …………7分 52当l:x??当l与x轴不垂直时，

设l:y?kx?m,M?x1,y1?,N(x2,y2)，由d?m1?k2?122,?25m?1?k, …………8分 5?y?kx?m222??9?16kx?32kmx?16m?1?0 …………9分 联立?2得2?9x?16y?116m2?132km222，x1x2?， …………10分 ???32km??4(9?16k)(16m?1)?0,x1?x2??229?16k9?16k222225m?k?1?0 ?OM?ON?x1x2?y1y2?1?kx1x2?km(x1?x2)?m=29?16k????MON??2 ………… 11分

综上，?MON??2（定值） ………… 12分

1ax2?121. 解：（Ⅰ）f?(x)?ax??，x?0 ……………1分

xx①

当

a?0时，f?(x)?0,f(x)在(0，??)上单调递减； ………………2分

② 当a?0时，令f?(x)?0,解得x?a.………… 3分 aaa当x?(0，)时，f?(x)?0；当x?(，??)时，f?(x)?0.…………4分

aaaa?函数f(x)在(0，)内单调递减；在(，??)内单调递增 …………5分

aa(0，??)上单调递减； 综上：当a?0时，f(x)在aa当a>0时，?函数f(x)在(0，)内单调递减；在(，??)内单调递增 …………6分

aa（Ⅱ）当a?0时，由（Ⅰ）得f(x)在（0，+￥)上单调递减，函数f(x)不可能有两个零点；………7分

aa当a>0时，由（Ⅰ）得，函数f(x)在(0，)内单调递减，在(且当x趋近于0和，??)内单调递增，aa正无穷大时，f(x)都趋近于正无穷大，………8分

数学试题（文科） 第 11页，共 13页

故若要使函数f(x)有两个零点，则f(x)的极小值f(a)?0，………………10分 a即

11?lna-2?0，解得0?a?e3, 22综上所述，a的取值范围是(0，e3) …………………12分 22.解：（Ⅰ）证明:连接BN，则AN?BN，……………2分 又CD?AB,则?BEF??BNF?90，……………4分

即?BEF??BNF?180，则B,E,F,N四点共圆．……………5分 （Ⅱ）由直角三角形的射影定理可知AC?AE?AB,……………6分

2CAMEOFDBN相似可知：

BFBE?，BFBM?BABE?BA(BA?EA), BABMBF?BM?AB2?AB?AE……………8分

?BF?BM?AB2?AC2,即AC2?BF?BM?AB2……………10分

23.解：（Ⅰ）将C的极坐标方程??6?cos??5?0化为直角坐标为x?y?6x?5?0…1分

222直线l的参数方程为??x??1?tcos?(t为参数）……………2分

?y?tsin?将直线的参数方程代入曲线C的方程整理得t2?8tcos??12?0……………3分 直线与曲线有公共点，???64cos2??48?0,得cos??33 或cos???22??5????[0,?),??的取值范围为[0,]?,??.……………5分

6?6?（Ⅱ）曲线C的方程x?y?6x?5?0化为(x?3)?y?4，

2222其参数方程为??x?3?2cos?(?为参数）……………7分

?y?2sin????M(x,y)为曲线C上任意一点，?x?y?3?2cos??2sin??3?22sin????.……………9分

4??x?y的取值范围是[3?22,3?22]……………10分

24.解：（Ⅰ）显然a?0，……………1分

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