误差理论与测量平差习题

编 写 葛永慧 付培义 胡海峰

太原理工大学测绘科学与技术系

第一章 绪论习题..................................................... 2 第二章 平差数学模型与最小二乘原理习题............................... 3 第三章 条件平差习题................................................. 4 第四章 间接平差习题................................................. 7 第五章附有限制条件的条件平差习题.................................... 2 第六章 误差椭圆习题................................................. 4 第七章 误差分布与平差参数的统计假设检验习题......................... 6 第八章 近代平差理论习题............................................. 7

第一章 绪论习题

1.1 举出系统误差和偶然误差的例子各5个。

1.2 已知独立观测值L1、L2的中误差分别为m1、m2，求下列函数的中误差：

x?L122（1） x?2L1?3L2； （2）

?3L1L2x?sinL1cos(L1?L2)

； （3）

1.3 已知观测值L及其协方差阵DLL，组成函数X?AL和Y?BX，A、B为常数阵，求协方差阵DXL、DYL和DXY。

1.4 若要在两坚强点间布设一条附合水准路线，已知每公里观测中误差等于?5.0mm，欲使平差后线路中点高程中误差不大于?10.0mm，问该路线长度最多可达几公里？ 1.5 有一角度测20测回，得中误差?0.42??，问再增加多少测回，其中误差为?0.28??？ 1.6 设对某量进行了n次独立观测，得观测值Li，权为pi(i?1,2,?,n)，试求加权平均值

x??pL??p?的权px。

1.7 取一长度为d的直线之丈量结果的权为1，求长度为D的直线之丈量结果的权。 1.8 设有函数F?f1x?f2y，其中

?x??1L1??2L2?...??nLn??y??1L1??2L2?...??nLn

1?i、?i是无误差的常数，Li的权为pi，pij?0(i?j)。求函数F的权倒数pF。

1.9 已知观测值向量L，其协因数阵为单位阵。有如下方程：

TTV?BX?L，BBX?BL?0，X?(BB)T?1T??L?V BL，L式中：B为已知的系数阵，BB为可逆矩阵。求（1）协因数阵QXX、

TQL?L?；（2）证明V与

?均互不相关。 X和L1.10 设分5段测定A、B两水准点间的高差，每段各测两次，高差观测值和距离如下：

高差(m) 序号 距离Li? +3.248 +0.348 +1.444 -3.360 -3.699 Li?? +3.240 +0.356 +1.437 -3.352 -3.704 S(km) 4.0 3.2 2.0 2.6 3.4 1 2 3 4 5

试求：(1)每公里观测高差的中误差；(2)第二段观测高差的中误差；(3)第二段高差的平均值的中误差；(4)全长一次(往测或返测)观测高差的中误差；(5)全长高差平均值的中误差。

第二章 平差数学模型与最小二乘原理习题

2.1在图2.1中，A，B点为已知水准点，P1，P2，P3，P4为待定水准点，观测高差向量为

8,1~~~L?h1,h2,?h8??T，试列出条件平差的平差函数模型（将条件方程写成真值之间的关系式）。

2.2 为确定某航摄像片中一块梯形的面积，用卡规量得上底边长为l1，下底边长为l2，高为h，并用求积仪量得面积为S（见图2.2），若设梯形面积为未知参数X，试按附有参数的条件平差法列出平差函数模型。

~

2.3 在如图2.3的水准网中，A为已知水准点，P1，P2，P3为待定点，观测高差向量为~~~~~T~~~~~TP，P，PL?[h1，h2，h3，h4，h5]，X?[X，X，X]，23点高程为未知参数123现选取1试列出间接平差的函数模型。

2.4 在图2.4的水准网中，A，B点为已知水准点，P1，P2点为待定水准点，观测高差为h1,h2,h3和h4。若设三段高差为未知参数，3,1平差列出平差函数模型。

~~~~X?X1,X2,X3??T如图所示，试按附有限制条件的间接

2.5 在图2.5的水准网中，A，B点为已知点，P1，P2，P3点为待定点，观测高差为~~~~X?X,X2,X31hi?i?1,2,3,4,5,6?，3,1若选AP1，P1P2及P2B路线的三段高差为未知参数，

试按附有限制条件的条件平差列出条件方程和限制条件。

??T

第三章 条件平差习题

3.1 如图3.1所示水准网，A、B两点为高程已知，各观测高差及路线长度如表3.1所列。用条件平差法计算求知点的高程平差值及p2和p3之间平差后高差值h7的中误差。

?

表3.1

高差观测值(m) h1 = 1.359 h2 = 2.009 h3 = 0.363 h4 =-0.640 h5 = 0.657 h6 = 1.000 h7 = 1.650 对应线路长度(km) 1 1 2 2 1 已知点高程（m） H1= 35.000 H2= 36.000 图3.1

1 2 3.2 图3.2中所示的中点三边形，其内角观测值为等精度独立观测值（如表3.2所示），计算各观测角值的平差值及CD边长平差后的相对中误差。

表3.2

观测值 L1 = 30?52′ 39.2″ L 2 = 42?16′ 41.2″ L 7 = 106?50′ 42.7″ 观测值 L3 = 33?40′ 54.8″ L4 = 20?58′ 26.4″ L 8 = 125?20′ 37.6″ 观测值 L5 = 23?45′ 12.5″ L6 = 28?26′ 07.9″ L9 = 127?48′ 41.5″

3.3 如图3.3所示单一附合导线，起算数据和观测值如表3.3所示，测角中误差为±3″，测边标称精度为±(5+5D)mm，按条件平差法计算各导线点的坐标平差值，并评定3点平差后的点位精度。

表3.3

已知坐标(m) A (6556.947 , 4101.735) B (8748.155 , 6667.647) 导线边长观测值(m) S1 = 1628.524 S2 = 1293.480 S3 = 1229.421 S4 = 1511.185 已知方位角 TAC = 49?30′13.4″ TBD = 229?30′13.4″ 转折角度观测值 β1 = 291?45′ 27.8″ β2 = 275?16′ 43.8″ β3 = 128?49′ 32.3″ β4 = 274?57′ 18.2″ β5 = 289?10′ 52.9″

3.4 设某平差问题是按条件平差法进行的，其法方程式为：

?2??k1??6??10 ? ? ? ? ? ? 4??k2?+?6?=0 ??2 β2 β 4 S2 β3 S3 4 试求：（1）单位权中误差m0； 2 3 t ? （2）若已知某一平差函数式F?fL，并计算得?ff/p?=44，?af/p?=16，

S1 S4 ?bf

1 / p m /p?=4，试求该平差值函数的权倒数F及其中误差F。 A (1) β5 β1 C C D B (5) 3.5 有三角网（如图3.5），其中B、为已知点，A、D、E为待定点，观测角 图3.3 Li（i=1，2，…，10），（1）试写出AD边的权函数式； （2）设观测值同精度，且QLL?E，已知方位角aBC无误差，试求平差后aBE的权倒数。

3.6 试按条件平差法求证在单一水准路线（如图3.6）中，平差后高程最弱点在水准路线中央。

3.7 已知条件式为AV?W?0,其中W?AL，观测值协因数阵为QLL?PF?fT?1，现有函数式

(L?V)，

（1） 试求：QFF；

（2） 试证： V和F是互不相关的。

3.8 有独立测边网（如图3.8），边长观测值列于表3.8。试按条件平差法求出改正数边长平差值。（已知QS?E）。

表3.8

编号 S1 S2 S3 S4 S5 S6 VSi以及

观测值（m） 3110.398 2004.401 3921.397 3608.712 1712.624 3813.557 S7 S8 S9 2526.140 3588.582 2540.378

第四章 间接平差习题

一、 公式汇编与示例

（一）、公式汇编

附有限制条件的间接平差法的数学模型

V?Bx??l,n,1n,uu,1n,1 C??s,uux,1Wx?0,s,1 nD??22,n0Q??0nP?1,n.n,n 其中 l?L?F(X0),W0x??Φ(X). 法方程

Nbbx??CTKs?W?0,u,uu,1u,ss,1u,1u,1 Cx??Wuu,1x?0.s,s,1s,1 式中 NT,W?BTbb?BPBPl. 其解为

x??(N?1?1TN?1?1u,1bb?NbbCccCN?1bb)W?NbbCTN?1ccWx

（4-5-4）（4-5-5）（4-5-6）4-5-13）4-5-14）4-5-12）

（ （ （

?QX?X?W?NbbCNccWx,

Ks?Ncc(CNs,1?1?1bb?1T?1 （4-5-19） （4-5-18） （4-5-16）

W?Wx).

式中 Ncc?CN?1bbC.

T观测值和参数的平差值

n,1??L?V,L0

（4-5-20） （4-5-21）

u,1??XX?.?x单位权方差的估值

??20?VPVrTT?,n?u?s

TVPVT（4-5-22） （4-5-23）

VPV?lPl?WT??WxTKs.x

协因数阵见表4-10。参数平差值函数：

?).??Φ(X?

（4-5-24）

平差值函数的权函数式

?.??FTdXd?

T

?Φ???X??.??

（4-5-25）

式中

1,uF??Φ??????X1?Φ??X2u（4-5-26）

平差值函数的协因数

T Q?????FQX?X?F.

（4-5-27）

平差值函数的中误差

（二）、示例

例[4-6] 在图4-11的三角网中，A、B为已知点，CD为基线边，又已知B-E的方位角?BE，观测了全部角度值列于表4-12，试求各待定点坐标的平差值和F点点位中误差。

?0Q????.????? （4-5-28）

解：

（1）绘制平差略图（图4-11）。 （2）编制起算数据表（表4-11）。

图4-11

（3）计算近似坐标（计算过程略，近似坐标列于表4-13）。 （4）计算近似边长和近似方位角（计算过程略，结果列于表4-14）。

?以cm为单位，故a、b系数按下列计算： ?、y（5）计算a、b系数，例中xaik?2.06265sin?ikSik(km)00,bik??2.062650cos?ik0Sik(km).计算结果见表4-14。

至 何 点 E D

点 名 B C A 起 算 数 据 表 表4-11

坐 标 (m) 边 长 (m) 方 位 角 X 2802234.190 2794005.704 Y 19437826.220 19433831.155 S 6523.643 α 249°22′10.17″ 角 度 观 测 值 表4-12

角度 编号 1 2 3 4 5 6 观 测 值 54° 49′ 29.57″ 43° 28′ 18.22″ 81° 42′ 11.62″ 48° 19′ 00.60″ 85° 31′ 37.21″ 46° 09′ 20.35″ 角度编号 7 8 9 10 11 12 观 测 值 77° 14′ 59.04″ 46° 18′ 21.93″ 56° 26′ 38.83″ 52° 27′ 11.49″ 60° 48′ 47.61″ 66° 43′ 59.30″ 角度编号 13 14 15 16 17 18 观 测 值 56° 31′ 36.21″ 67° 51′ 49.11″ 55° 36′ 35.70″ 64° 22′ 06.49″ 62° 16′ 36.29″ 53° 21′ 14.20″

待定点近似坐标与最后坐标 表4-13 近 似 坐 标 (m) 点 名 X0改 正 数 (cm) ?x最 后 坐 标 (m) ? X? Y Y0 ?y C 2804773.909 19432985.959 0.00 +0.35 2804773.909 19432985.962 D E F G 2805958.639 19426570.796 2799571.971 19430754.937 2798372.250 19423925.543 2793886.720 19428172.793 +0.14 +0.15 +0.20 +0.10 +0.27 +0.31 +0.21 +0.12 2805958.640 19426570.799 2799571.972 19430754.940 2798372.252 19423925.545 2793886.721 19428172.794

a，b系数的计算 表4-14

测 站 照准点 G A E B A B E C B E D C D E F B A E G F D C D F E G F G E A 0近似方位角 ? 0近似边长(m) s a b 268° 47′ 43.31″ 331 25 205 249 297 117 203 280 100 146 199 69 151 204 260 326 23 19 80 136 316 24 88 04 53 53 22 41 41 12 27 27 46 13 22 04 25 02 46 12 13 02 33 33 25 47 21.37 50.40 50.40 10.16 10.72 10.72 49.19 47.87 47.87 10.99 22.26 10.16 21.37 36.26 11.40 10.99 49.19 22.26 11.40 46.68 46.68 36.26 43.31 5659.6 6359.8 9147.0 7555.8 5466.1 5660.2 6523.6 7635.2 8034.3 6244.2 6934.0 6177.3

－0.3644 －0.1569 －0.2555 －0.3341 －0.1436 －0.3109 +0.1480 －0.0845 －0.1366 －0.2930 +0.2296 +0.0077 －0.2839 +0.0962 －0.1753 +0.3349 －0.0574 +0.2260 +0.2424 +0.3008 +0.0515 +0.2425 C

（6）编制误差方程系数和常数项表（表4-15），其中

li?Li?(?ik??ij).00

（7）列立条件方程。由于选取了全部待定点坐标为参数，所以在基线边的两端点的参

?C、y?C、x?D、y?D之间存在着一个基线条件，而在已知点坐标XB、YB与参数x?E、y?E之数x间存在一个方位角条件。 基线条件为

2?SCD?(XD?)2?(Y??Y?)2?XCDC，

?BE?arctan方位角条件为

它们线性化后的形式为

??YYEB??XXEB.

0000?C?sin?CD?C?cos?CD?D?sin?CD?D?ws?0,?cos?CDxyxy

?E?bEBy?E????0. aEBx??SCD?式中，s????BE?arctan(X00D?XC)?(YD?YC)??BE??BE.B002002?SCD?SCD,0

YE?YBX0E?X。aEB与bEB的计算与误差方程系数相同。

（8）组成法方程并进行解算。结果为

??[0.0020.3490.1420.2730.1550.3080.0990.1220.1950.206]Tcm, xKs?[?0.0100.040].

T（9）将坐标改正数列入表4-13，计算平差后坐标。

（10）计算观测角改正数（表4-15）和平差后的角值（略）。 （11）精度评定。 单位权中误差

?0??F

VPVn?u?sT?14.406710?1.20??.

点的纵横坐标的协因数、中误差和点位中误差为

QX?F?XF?10.8513,QY?FYE??9.9436,

3.95?3.7822???1.2010.8513?3.95cm,????1.209.9436?3.78cm,???F?XYFF?5.47cm.

二、习 题

4.1 在直角多边形中（如图4.1），测得三边之长为L1、L2及L3，试列出该图的误差方程式。

4.2 在图4.2中所示的水准网中，各路线的观测高差如下：

h1??1.100m；h2??2.398m；h3??0.200m h4??1.000m；h5??3.404m；h6??3.452m

H已知HA?5.000m，HB?3.953m，HC?7.650m，若选择HP3P1?x1，

HP2?x2，

?x3，试列出误差方程式。

图4.2

4.3 图4.3中,A、B、C是已知点, P1、P2为待定点,网中观测了12个角度和6条边长。已知测角中误差为?1.5??，边长测量中误差为?2.0cm，起算数据及观测值分别列表于表4.1和表4.2。

点 号 x A B C 表4.1 坐 标 (m) y 130.812 1099.443 7572.622 4899.846 8781.945 4548.795 坐标方位角 14 00 35.77 123 10 57.97 边 长 (m) 4001.117 7734.443

表4.2

编号 1 2 3 4 5 观测角 84 07 38.2 37 46 34.9 58 05 44.1 33 03 03.2 126 01 55.7 编号 7 8 9 10 11 观测角 74 18 16.8 77 27 59.1 28 13 43.2 55 21 09.9 72 22 25.8 编号 13 14 15 16 17 观测边（m） 2463.94 3414.71 5216.23 6042.94 5085.08 6 20 55 02.3 12 52 16 20.5 18 5014.99 4.4 是否可以将误差方程式看作附有未知数的条件式？试按附有未知数的条件平差导出普通间接平差的基础方程。

4.5 在附有未知数的条件平差当中，试证明：

（1） 未知数向量X与改正数向量V是互不相关的；

?（2） 平差值函数??fL?fXX?f0与改正数向量V是互不相关的。

TT4.6 试证明：在附有条件的间接平差法中，

?是互不相关的； （1） 改正数向量V与平差值向量L（2） 联系数向量K与未知数的函数??fTX?f0也是互不相关的。

??Li4.7 设有误差方程vi?x，已知观测值Li（i=1，2，…，n），精度相同，且权Pi?1，

按间接平差法求得参数x的估值为

n?(BB)(Bl)?xT?1T?i?1Lin

?具有无偏性； 试证：（1）未知参数估值x

?的方差最小。 （2）无偏估值x

4.8 设未知数x1,x2,x3间互相误差独立，试求未知数函数 F?f1x1?f2x2?f3x3的权倒数1/pF。

第五章附有限制条件的条件平差习题

5.1 在图5.1的单一附合水准路线中，已知A，B点高程为HA=10.258m，HB=15.127m，P1，P2点为待定点，观测高差及路线长度为：

h1?2.154m， S1?2km h2?1.678m， S2?3km

h3?1.031m， S3?4km

??若选P1点高程及AP1路线上高差平差值为未知参数X1和X2，试按附有限制条件的条件平

差：

（1） 试列出条件方程和未知数间的限制条件；

（2） 试求待定点P1及P2点的高差平差值及各路线上的高差平差值。

5.2 如图5.2的水准网，A点为已知点，B，C，D，E点为待定点，已知B，E两点间的高差?HBE?1.000m，各水准路线的观测高差及距离如下表：

路线号 1 2 3 4 5 观测高差h（m） 路线长度S（km） 4.342 2.140 1.210 －2.354 5.349 1.5 1.2 0.9 1.5 1.8 已知数据 HA=25.859m ?HBE?1.00m

现选B，E两点的高程为未知参数，其近似值设为： X1?30.201m， X2?30.208m 试按附有限制条件的条件平差：

（1） 列出条件方程和限制条件（令权Pi=1/Si）； （2） 列出法方程；

???x,X,V,L（3） 求协因数阵；

00（4） 求协因数阵QX和QV。

?5.3 在图5.3的水准网中，A，B，C，D点为已知点，P1，P2点为待定点，已知点高程为HA?5.000m，HB?6.500m，HC?8.000m，HD?9.000m。高差观测值为：

Ts,1h??1.250，?0.245，0.750，?1.006，?2.003?m

权阵P为：

?1??2?P???????11?1????1?

??2??

??现选取AP1，BP1路线上高差的最或是值为未知参数X1和X2，其近似值为：

X01?h1?1.250m， X02?h2??0.245m

试按附有限制条件的条件平差：

（1） 列出条件方程和限制条件方程；

（2） 试求高差平差值及P1，P2点的高差平差值；

?x,X?（3） 试求未知数及其协因数阵QX?。

5.4 在图5.4的测角网中，A，B，C点为已知点，P点为待定点，已知数据为：

SAB?4001.117m， SBC?7734.443m″′ TAB?14o00′35.77″, TBC=123o10′57.97″

角度观测值为：

角 观测值（o ′″） 角 观测值（o ′″） 1 84 07 38.2 7 74 18 16.8 2 37 46 34.9 8 77 27 59.1 3 58 05 44.1 9 28 13 43.2 4 33 03 03.2 10 55 21 09.9 5 126 01 55.7 11 72 22 25.8 6 20 55 02.3 12 52 16 20.5

号

??00现选取∠2和∠4为未知参数X1和X1，其近似值设为X1?L2，X2?L4试按附有限制条

件的条件平差：

（1） 列出条件方程和限制条件； （2） 列出法方程。

第六章 误差椭圆习题

6.1 某一控制网只有一个待定点，设待定点的坐标为未知数，进行间接平差，其法方程为

?1.287??0.411T20.411??x??0.534?秒???????021.762??y???0.394?（系数阵的单位是dm）

且已知lPl?4??。试求出待定点误差椭圆的三个参数并绘出误差椭圆，并用图解法和计算法求出待定点的点位中误差。

6.2 如图6-18 所示P1、P2两点间为一山头，某条铁路专用线在此经过，要在P1、P2两点间开掘隧道，要求在贯通方向和贯通重要方向上的误差不超过?0.5m和?0.25m。根据实地勘察，在地形图上设计的专用贯通测量控制网，A、B为已知点，P1、P2为待定点，根据原有测量资料知A、B两点的坐标以及在地形图上根据坐标格网量得P1、P2两点的近似坐标见表6-5，设计按三等控制网要求进行观测所有的9个角度，试估算设计的此控制网能

否达到要求，并绘出两点的点位误差椭圆和相对误差椭圆。

表6-5 控制网各点（近似）坐标表

点名 x

y

A

B

P1 P2

8986.687 5705.036

13737.375 10507.928

6642.27 14711.75

10122.12 10312.47

6.3 如图6-19所示的控制网为一测边网，A、B为已知点，C、D、E为待定点，设待定点的坐标为未知数，进行间接平差，平差后各点的坐标见表6-6，单位权中误差

?0??0.4dm?，法方程系数阵的逆阵也已求出如下，

表6-6 控制网各点坐标表

点号 x

y

A

B

C D E

2108.278 1000.000

?4.0714??1.9622??1.9546???0.0840?0.9669??0.8398?2623.764 1000.000

?1.96221.5402?0.7155?0.0307?0.3536?0.30711.9564?0.71552.0744?0.23790.89950.78122814.225 1945.370

0.0840?0.0307?0.23790.55800.10090.08772385.122 1698.484

0.9669?0.35360.89950.10091.15460.53281966.521 1361.445

0.8398???0.3071?0.7812??0.0877?0.5328??1.0467??

QXX试绘出C、D、E三点的点位误差椭圆及D、E两点的相对误差椭圆； 用计算法和图解法求出DE边的边长相对中误差和DB边的方位角中误差。

第七章 误差分布与平差参数的统计假设检验习题

7.1统计某地区控制网中420个三角形的闭合差，得其平均值x?0.05??，已知?0?(0.58??)，问该控制网的三角形闭合差的数学期望是否为零（取??0.05）。

227.2 设用某种光学经纬仪观测大量角度而得到的一测回测角中误差为1.40??。今用试制的同

??1.80??，问新旧仪器的测角精度类经纬仪观测了10个测回，算得一测回测角中误差为?是否相等（取??0.05）。

7.3 已知某基线长度为4627.497m，为了检验一台测距仪，用这台测距仪对这条基线上测???0.011m。试检验这量了8次，得平均值x?4627.331m，由观测值算得子样中误差?台测距仪测量的长度与基线长度有无明显差异（取??0.01）？

7.4 为了了解两个人测量角度的精度是否相同，用同一台经纬仪两人各观测了9个测回，算?1??0.7??,??2??0.6??，问两个人的测角精度是否相等（取得一测回中误差分别为???0.05）。

7.5 某一测区的平面控制网，共有50个三角形，其三角形闭合差结果见表7－2，试用偶然误差的特性检验三角形闭合差是否服从正态分布（取??0.05）。

表7－2

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

w(??)

序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

2w(??)

序号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

w(??)

序号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

w(??)

序号 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

w(??)

-2.32 -2.21 -2.00 -1.98 -1.96 -1.75 -1.28 -1.22 -1.13 -1.12

-1.08 -1.02 -0.96 -0.93 -0.89 -0.88 -0.69 -0.68 -0.67 -0.51

-0.39 -0.31 -0.27 -0.25 -0.12 0.09 0.16 0.26 0.33 0.37

0.42 0.48 0.57 0.57 0.61 0.70 0.74 0.85 0.87 0.91

0.99 1.08 1.63 1.84 1.85 1.87 2.08 2.26 2.35 2.40

7.6 数据同第5题，试用?检验法检验三角形闭合差是否服从正态分布（取??0.05）。 7.7 某单位新购置了一台光电测距仪，为了求取测距精度与距离的关系，对长度不同的8段距离进行观测，计算出各段距离的中误差，其数据见表7－3。假设精度与距离呈线性关

???a?bD系，即D，试检验平差参数的显著性。

表7－3

S(km)

1.2 1.9 7.2

2.8 7.5

3.5 7.6

4.4 8.6

5.1 8.5

6.0 9.0

6.2 8.7

?D(mm) 6.6

????1.59??7.8 某三等平面控制网，观测数为18，必要观测数为4，平差求得测角中误差?；

试检验平差模型是否正确。（??0.05）

??2.0???97.9某一矿区三等平面控制网，多余观测数，平差求得的测角中误差为?，试检

验平差模型是否正确。（取??0.05和??0.1）。

??5mm?2ppmD7.10某一测边网，用标称精度为D的测距仪测距，平均边长为6.5km，

??5mm?2?6.5mm?18mm?0.18dm平差定权时按等权对待，即取单位权中误差为0。

22?0.1222(dm)平差后算得单位权方差的估值0（多余观测数为5），试检验平差模型是否

??正确。（取??0.05）。

第八章 近代平差理论习题

8.1 设有两组误差方程：

?1?V1?0????1?1??1?1???1?????1??2???

??x1???? ?x2?－

（mm）

?1???10??x?3?V2????????2?－?1?（mm） ?0 1? ?x其中，L1与L2的权为P1?P2?I，未知数的近似值为X??贯平差求X及QX。

8.2

0??5.650 7.120?T(m)，试按序

在图8.1的水准网中，已知A，B，C点的高程为HA?11.00m，HB?10.500m，

HC?12.512m，P为待定点，各路线观测高差为：

h1??2.003m，h2??2.501m， h3??0.497m

Q?I。设h，h为第一次观测值，h为第二次观测值，P点高程为未知参数，试按序贯平123

差求P点高程平差值及其权导数（设X0?13.003m ）。

8.3 如图8.2水准网，已知A、B点高程为HA?10.000m，HB?5.000m，第一次观测高差为h1、h2、h3，第二次观测高差为h4、h5，高差观测值如下：

h1?5.012m、h2?4.853m、h3??9.861m、h4?10.011m、h5?14.863m，

????选待定点P1、P2的高程平差值为未知参数，即：X1?HP1、X2?HP2，取其近似值为

X1?15.012m、X2?19.861m，已知单位权中误差为?000??2mm，权阵P1?P2?I，

试按序惯平差法：

⑴列出两组误差方程；

?； ??；第二次平差结果x?和X???；以及x⑵求第一次平差结果x⑶求第一次改正数V?；第二次改正数V??；以及改正数V与高差平差值； ⑷求平差后P1、P2点高程平差值的协因数阵及其中误差。 8.4 设有两组误差方程为：

??1??1??0?????????V1??1 x1?0x2?1??????????0????1???1??， P1?I

??1??0??1?????????V2??1 x2?1x3?0??????????0???1????1??，P2?I ?x试按序贯平差法求3,1。

8.5 某水准网如图8.5所示，已知点A，B的高程分别为H为确定待定点P点的高程，测得高差观测值为：

A?53.00m， HA?58.00m，

h1?2.95m， h2?2.97m， h3?2.08m ，h4?2.06m

?L1?TTL???L1??h1、h2?L2??h3、h4?4,1?L2?，2,1各条路线长度相等。设，2,1， P点高程平差值

?为未知参数X：

（1） 试列出两组误差方程；

（2） 试按序贯平差法求P点高程平差值及其协因数阵。

8.6 在如图8.6的水准网中，h1，h2，h3为观测值，其协因数阵Q?I，设P1，P2点高程平差值为未知参数。其误差方程为：

??11??2??1?????x??V???11????1??x?????11??2??1?????

?及其协因数阵试按附加条件法进行秩亏自由网平差，求法方程的解xQX?X?。

8.7 有水准网如图8.5，高差观测值为： 5,1各线路长度均为 1km，各点的近似高程为：

X1?HP1?31.100X3?HP3?32.1650000?h??1.064,1.002,0.060,0.560,0.500Tm

m，m，

X2?HP2?32.100X4?HP4?31.6000000m m

?试按直接解法和附加条件法进行秩亏网平差，求各点高程平差值及其协因数阵QX。 8.8 在图8.6的水准网中，观测高差为：

h?[12.345，3.478，?15.817]m

T设P?I，各点的近似高程为：

000000 X1?H1?0.000m，X2?H2?22.345m，X3?H3?25.823m

试按直接解法和附加条件法进行秩亏网平差，求各点高程平差值及其协因数阵QX。

?