2.2.3 向量的数乘（2）

【学习目标】

1.理解并掌握向量的共线定理；

2.能运用向量共线定理证明简单的几何问题； 3.培养学生的逻辑思维能力 【学习重难点】 重点：向量的共线定理； 难点：向量的共线定理； 【自主学习】 1.向量的线性表示：

若果b??a,(a?0)，则称向量b可以用非零向量a线性表示； 2.向量共线定理：

思考：向量共线定理中有a

【典型例题】

例1.如图，D,E分别是?ABC的边AB,AC的中点， （1）将DE用BC线性表示； （2）求证：BC与DE共线； 例

?0这个限制条件，若无此条件，会有什么结果？

C E B D A e1,e2是两个不共线的向量，已知

AB?2e1?ke2,CB?e1?3e2,CD?2e1?e2，若A,B,D三点共线，求k的值。

2.

设

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变式：设e1,e2是两个不共线的向量,已知

AB?2e1?8e2,CB?e1?3e2,CD?2e1?e2,求证：A,B,D三点共线。

例3.如图，?OAB中，C为直线AB上一点，AC求证：OC

思考： （1）当?

??BC,(???1),

?OA??OB

1???1时，你能得到什么结论？

?OA??OB表明：起点为O，终点为直线AB上一点C的

1??（2）上面所证的结论：OC向量OC可以用OA,OB表示，那么两个不共线的向量OA,OB可以表示平面上任意一个向量吗？

例4.已知向量a?2e1?3e2,b?2e1?3e2,其中e1,e2不共线，向量c?2e1?9e2，

是否存在实数?,?，使得d

??a??b与c共线

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例5.平面直角坐标系中，已知A(3,1),B(?1,3),若点C满足OC??OA??OB,其中

?,??R,A,B,C三点共线，求???的值；

【课堂练习】 1.已知向量a?2e1

2.设e1,e2是两个不共线的向量，a?2e1值。

3.求证：起点相同的三个非零向量a,b,3a?2b的终点在同一直线上。

【课堂小结】

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?2e2,b??3(e2?e1),求证：a,b为共线向量；

?e2,b?ke1?e2,若a,b是共线向量，求k的

2．3．1 平面向量基本原理

【学习目标】

1． 了解平面向量的基本定理及其意义；

2． 掌握三点（或三点以上）的共线的证明方法： 3． 提高学生分析问题、解决问题的能力。 【预习指导】

1、平面向量的基本定理

如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1，?2使a=?1e1+?2e2 2.、基底：

平面向量的基本定理中的不共线的向量e1, e2，称为这一平面内所有向量的一组基底。 思考：

（1） 向量作为基底必须具备什么条件？ （2） 一个平面的基底唯一吗？ 答：（1）______________________________________________________ （2）______________________________________________________ 3、向量的分解、向量的正交分解：

一个平面向量用一组基底e1 , e2 表示成a=?1e1+?2e2的形式，我们称它为向量的分解，当e1, e2互相垂直时，就称为向量的正交分解。

4、 点共线的证明方法：___________________________________________ 【典例选讲】

例1：如图：平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于一点M ，AB =a ,AD =b试用 a ,b，表示MC ,MA ,MB 和MD 。 D C M b A B

a

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