（一）
7、某二元信源
一、判断题共 10 小题，满分 20 分.
1. 当随机变量X和Y相互独立时，条件熵H(X|Y)等于信源熵H(X). （ ）
2. 由于构成同一空间的基底不是唯一的，所以不同的基
1??X??0?P(X)???1/21/2?，其失真矩阵?????0a?，则该信源的Dmax= . D????a0?三、本题共 4 小题，满分 50 分.
1、某信源发送端有2种符号xi(i?1,2),p(x1)?a；接收端
底或生成矩阵有可能生成同一码集. 符 号 y ( j ? 1 ,2 ) ， 转 移 概 率 矩 阵 为 有3 种,3（ ） 3.一般情况下，用变长编码得到的平均码长比定长编码大得多. （ ）
4. 只要信息传输率大于信道容量，总存在一种信道编译码，可以以所要求的任意小的误差概率实现可靠的通
信. （ ） 5. 各码字的长度符合克拉夫特不等式，是唯一可译码存在的充分和必要条件. （ ） 6. 连续信源和离散信源的熵都具有非负性. （ ）
7. 信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大，信宿收到消息后对信源存在的不确 定性就越小，获得的信息量就越小. 8. 汉明码是一种线性分组码. （ ） 9. 率失真函数的最小值是0. （ ）
10.必然事件和不可能事件的自信息量都是0. （ ）
二、填空题共 6 小题，满分 20 分.
1
、
码
的
检
、
纠
错
能
力
取
决
于 .
2、信源编码的目的是 ；信道编码的目的是 .
3、把信息组原封不动地搬到码字前k位的(n,k)码就叫做 .
4、香农信息论中的三大极限定理
是 、 、 . 5、设信道的输入与输出随机序列分别为X和Y，则
I(XN,YN)?NI(X,Y)成立的
条件 ..
6、对于香农-费诺编码、原始香农-费诺编码和哈夫曼编码，编码方法惟一的是 .
iP???1/21/20?1-p1-p?1/21/41/4?. ?p/2（1） 计算接收端的平均不确
01p/2定度H(Y)； p/2p/2（2） 计算由于噪声产生的不
p/2p/2确定度H(Y|X)； （3） 计算信道容量以及最佳2入口分布. 1-p2、一阶马尔可夫信源的状态转移
图2-13图如右图所示， 信源X的符号集为{0,1,2}. （1）求信源平稳后的概率分布；
（2）求此信源的熵；
（ 3 ）近似地认为此信源为无记忆时，符号的概率分布为 平 X )
稳分布.求近似信源的熵H(并与H?进行比较.
4 、 设 二 元 ( 7 , 4 ) 线
性分组码的生成矩阵为??1101000?G??0110100???1110010??. ?1010001??（1）给出该码的一致校验矩阵，写出所有的陪集首和与之相对应的伴随式；
（2）若接收矢量v?(0001011)，试计算出其对应的伴随式S并按照最小距离译码准则
试着对其译码. （二）
一、填空题（共15分，每空1分）
1、信源编码的主要目的是 ，信道编码的主要目的是 。
2、信源的剩余度主要来自两个方面，一是 ，二
12是 。 XY3、三进制信源的最小熵为 ，最大熵为 。 124、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制12为 。
125、当 时，信源与信道达到匹配。 126、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为
1212和 。
127、根据是否允许失真，信源编码可分为
和 。
8、若连续信源输出信号的平均功率为?2，则输出信号幅度
的概率密度是 时，信源具有最大熵，其值为值 。 9、在下面空格中选择填入数学符号“?,?,?,?”或“?”
（1）当X和Y相互独立时，H（XY） H(X)+H(X/Y) H(Y)+H(X)。
（2）H??H?X1X2?H?X1X2X3?2?X2 H3?X??3
（3）假设信道输入用X表示，信道输出用Y表示。在无噪有损信道中，H(X/Y) 0,
H(Y/X) 0,I(X;Y) H(X)。
三、（16分）已知信源
??S??s1s2s3s4s5s6??P?????0.20.20.20.20.10.1?? （1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6分） （2）计算平均码长L;（4分）
（3）计算编码信息率R?;（2分）
（4）计算编码后信息传输率R;（2分） （5）计算编码效率?。（2分）
四、（10分）某信源输出A、B、C、D、E五种符号，每一个符号独立出现，出现概率分别为1/8、1/8、1/8、1/2、1/8。如果符号的码元宽度为0.5?s。计算： （1）信息传输速率Rt。（5分）
五、(16分)一个一阶马尔可夫信源，转移概率为
P?S|S23|S111??,P?S21??3,P?S1|S2??1,P?S2|S2??0。
(1) 画出状态转移图。(4分)
(2) 计算稳态概率。(4分)
(3) 计算马尔可夫信源的极限熵。(4分)
(4) 计算稳态下H1,H2及其对应的剩余度。(4分) 六、设有扰信道的传输情况分别如图所示。试求这种信道的信道容量。
七、(16分)设X、Y是两个相互独立的二元随机变量，其取0或1的概率相等。定义另一个二元随机变量Z=XY(一般乘积)。试计算 (1) H?X?,H?Z?;
(2) H?XY?,H?XZ?;
(3) H?X|Y?,H?Z|X?;
(4) I?X;Y?,I?X;Z?;
八、(10分)设离散无记忆信源的概率空间为
??X????x1x2?P?0.80.2?，通过干扰信道，信道输出端的接收符号????集为Y??y1,y2?，信道传输概率如下图所示。
x561y11634x214y2
(1) 计算信源X中事件x1包含的自信息量； (2) 计算信源X的信息熵； (3) 计算信道疑义度H?X|Y?； (4) 计算噪声熵H?Y|X?；
(5) 计算收到消息Y后获得的平均互信息量。
《信息论基础》2参考答案
一、填空题（共15分，每空1分） 1、信源编码的主要目的是提高有效性，信道编码的主要目的是提高可靠性。 2、信源的剩余度主要来自两个方面，一是信源符号间的相关性，二是信源符号的统计不均匀性。
3、三进制信源的最小熵为0，最大熵为log32bit/符号。 4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为信源熵（或H(S)/logr= Hr(S)）。
5、当R=C或（信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配。 6、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为恒参信道和随参信道。 7、根据是否允许失真，信源编码可分为无失真信源编码和限失真信源编码。
8、若连续信源输出信号的平均功率为?2，则输出信号幅度2的概率密度是高斯分布或正态分布或f?x??12?22??e?x时，
信源具有最大熵，其值为值1log2?e?22。
9、在下面空格中选择填入数学符号“?,?,?,?”或“?” （1）当X和Y相互独立时，H（XY）=H(X)+H(X/Y)=H(Y)+H(X)。
（2）H?X??H?X1X2?H?X1X2X3?22?H3?X??3 （3）假设信道输入用X表示，信道输出用Y表示。在无噪有损信道中，H(X/Y)> 0, H(Y/X)=0,I(X;Y) ??S??????s1s2s3s4s5s6?P??0.20.20.20.20.10.1?? （1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6分） （2）计算平均码长L;（4分） （3）计算编码信息率R?;（2分） （4）计算编码后信息传输率R;（2分） （5）计算编码效率?。（2分） （1） S10.200S20.21S1.030.200S140.21S050.11 S60.11 编码结果为： S1?00S2?01S3?100S4?101 S5?110S6?1116（2）L??Pi?i?0.4?2?0.6?3?2.6码元 i?1符号（3）R??Llogr=2.6bit符号 （4）R?H?S?L?2.532.6?0.973bit码元其中，H?S??H?0.2,0.2,0.2,0.2,0.1,0.1??2.53bit符号 （5）??H?S?H?S?Llogr?L?0.973 评分：其他正确的编码方案：1，要求为即时码 2，平均码长 最短 四、（10分）某信源输出A、B、C、D、E五种符号，每一个符号独立出现，出现概率分别为1/8、1/8、1/8、1/2、1/8。如果符号的码元宽度为0.5?s。计算： （1）信息传输速率Rt。（5分） （1）R?1tt??H?X??H?XY??? H?X???18log1118?4?2log2?1log8?1log2 22 ?312log2?2log2?2log2?2bitR2bitt?0.5?s?4?106bps五、(16分)一个一阶马尔可夫信源，转移概率为 P?S211|S1??3,P?S2|S1??3,P?S1|S2??1,P?S2|S2??0。 (1) 画出状态转移图。(4分) (2) 计算稳态概率。(4分) (3) 计算马尔可夫信源的极限熵。(4分) (4) 计算稳态下H1,H2及其对应的剩余度。(4分) 解：(1) 1S31S21 (2)由公式P?Si???2Pi|Sj?1?Sj?P?Sj? 有 ?2?P?S1??PS|SPS?2P?S1??P?S2???1i??i??i?13?2?P?S1 ?2???P?S2|Si?P?Si??P?S1?i?13??P?S1??P?S2??1??P?S??3得??1?4 ???P?S??124(3)该马尔可夫信源的极限熵为： 22H?????P?Si?P?Sj|Si?logP?Sj|Si?i?1j?1??34?23?log23113?4?3?log3?1 2?0.578?14?1.599?0.681bit符号?0.472nat符号?0.205hart符号(4)在稳态下： 2???P?x?3311?i?logP?xi???i?1??4?log4?4?log4???0.811bit符号 H2?H??0.205hart符号?0.472nat符号?0.681bit符号 对应的剩余度为 ??H10.8111?1H?1??0.189 0???1?2log??1?1?1???2???2log??2?????2?1?H20.681H?1??0.319 0???1?1?2log???2???1?1??2log??2????六、设有扰信道的传输情况分别如图所示。试求这种信道的信道容量。 X12Y12121212121212 解：信道传输矩阵如下 ??11?2200???011?P220??Y|X????1??001 ?22???11??2002??可以看出这是一个对称信道，L=4,那么信道容量为 C?log4?H??11??2,2,0,0??L?logL??p?yj|xi?logp?yj|xi?j?1 ?log4?2?112log2?1bit七、(16分)设X、Y是两个相互独立的二元随机变量，其取0或1的概率相等。定义另一个二元随机变量Z=XY(一般乘积)。试计算 (1) H?X?,H?Z?; (2) H?XY?,H?XZ?; (3) H?X|Y?,H?Z|X?; (4) I?X;Y?,I?X;Z?; 解：(1) Z 0 1 P(Z) 3/4 1/4 H?X??H??1?2,1?2???1bit H(2)?H??3?4,1?4???0.8113bit (2) H?XY??H?X??H?Y??1?1?2bit对 H?XZ??H?X??H?Z|X??1?11?12H?1,0??1?2H??2,2???1.5bit对 (3) H?X|Y??H?X??1bit H?Z|X??112H?1,0??2H??11??2,2???0.5bit