2009年全国高中数学联赛

受中国数学会委托，2009年全国高中数学联赛由黑龙江省数学会承办。中国数学会普及工作委员会和黑龙江数学会负责命题工作。

2009年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。全卷包括8填空题和3道大题，满分100分。答卷时间为80分钟。

全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题，试卷满分200分。答卷时问为150分钟。

一 试

一、填空（每小题7分，共56分）

x1． 若函数f?x??且f(n)?x??f??f?f?21?x?99??f，则f?x???1?? ． ??n2． 已知直线L:x?y?9?0和圆M:2x2?2y2?8x?8y?1?0，点A在直线L上，B，

C为圆M上两点，在?ABC中，?BAC?45?，AB过圆心M，则点A横坐标范围为 ．

?y≥0?

3． 在坐标平面上有两个区域M和N，M为?y≤x，N是随t变化的区域，它由

?y≤2?x?不等式t≤x≤t?1所确定，t的取值范围是0≤t≤1，则M和N的公共面积是函数f?t?? ．

4． 使不等式

11??n?1n?2?11?a?2007对一切正整数n都成立的最小正整数2n?13a的值为 ．

x2y25． 椭圆2?2?1?a?b?0?上任意两点P，Q，若OP?OQ，则乘积OP?OQ的最

ab小值为 ．

6． 若方程lgkx?2lg?x?1?仅有一个实根，那么k的取值范围是 ．

7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）

8． 某车站每天8∶00~9∶00，9∶00~10∶00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 到站时刻 概率 8∶10 9∶10 8∶30 9∶30 8∶50 9∶50 111 623一旅客8∶20到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 二、解答题

x2y21． （14分）设直线l:y?kx?m（其中k，m为整数）与椭圆??1交于不同两

1612x2y2点A，B，与双曲线??1交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量

412AC?BD?0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

q?q?0?是实数，2． （15分）已知p，方程x2?px?q?0有两个实根?，数列?an??，4，满足a1?p，a2?p2?q，an?pan?1?qan?2?n?3，?

(Ⅰ)求数列?an?的通项公式（用?，?表示）； (Ⅱ)若p?1，q?1，求?an?的前n项和． 4

3． （15分）求函数y?x?27?13?x?x的最大和最小值．

加试

一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）

9． 如图，M，N分别为锐角三角形?ABC（?A??B）的外接圆?上弧BC、AC的中点．过点C作PC∥MN交圆?于P点，I为?ABC的内心，连接PI并延长交圆?于T．

⑴求证：MP?MT?NP?NT；

⑵在弧AB（不含点C）上任取一点Q（Q≠A，T，B），记?AQC，△QCB的内心分别为I1，I2，

PNITAQCMB求证：Q，I1，I2，T四点共圆．

10． 求证不等式：

1?nk??1???2?lnn≤，n?1，2，… ?2?k?1k?1?

11． 设k，l是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m≥k，使得Ck m与l互素．