第十七章 多元函数微分学

一、证明题 1. 证明函数

?x2y,x2?y2?0?22f(x,y)??x?y 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.

?0,x2?y2?0?2. 证明函数

1?22(x?y)sin, x2?y2?0?22x?yf(x,y)?? 22?0, x?y?0?在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f在原点(0,0)可微.

3. 证明: 若二元函数f在点p(x0,y0)的某邻域U(p)内的偏导函数fx与fy有界,则f在U(p)内连续.

4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有

x?yarctg≈x+y.

1?xy5. 试证:

(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和; (2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和. 6.设Z=

y,其中f为可微函数,验证 22fx?y??1?Z1?ZZ+=. x?xy?yy27.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f为可微函数,证明:8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换 x=u cosθ-v sinθ, y=u sinθ+v cosθ 之下.?fx?+fy2?Z?Z sec x + secy=1. ?x?y??是一个形式不变量,即若

2g(u,v)=f(u cosθ-v sinθ,u sinθ+v cosθ). 则必有?fx?+fy2??=?g?+?g?.(其中旋转角θ是常数)

222uv9.设f(u)是可微函数,

F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t), 试求:Fx(0,0)与Fg(0,0)

10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式 F(tx,ty,tZ)=tk(x,y,z)(t>0)

则称F(x,y,x)为K次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K次齐次函数的充要条件是:

xFx?x,y,z?+yFy?x,y,z?+ZFx?x,y,z?=KF(x,y,z).

并证明:Z=

xy2x?y22?xy为二次齐次函数.

11..设f(x,y,z)具有性质ftx,tky,tmZ=tf(x,y,z)(t>0) 证明:

(1) f(x,y,z)=xf?1,n??n?yZ,mk?xx??; ?(2) xfx?x,y,z?+kyfy?x,y,z?+mzfz?x,y,z?=nf(x,y,z). 12.设由行列式表示的函数

a11?t? a12?t? ??? a1n?t?D(t)=

a21?t? a22?t? ??? a2n?t? ?????????????????????an1?t? an2?t? ??? ann?t?

其中aij?t?(i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明

a11?t? a12?t? ??? a1n?t?dD?t?=?dtk?1n ?????????????????????a?k1?t? a?k2?t? ??? a?kn?t? ?????????????????????an1?t? an2?t? ??? ann?t?13.证明:

(1) grad(u+c)=grad u(c为常数);

(2) graqd(αu+βv)=αgrad u+βgrad v(α,β为常数); (3) grsdu v=u grad v+v grsd u; (4) grad f(u)=f?(u)grad u.

14.设f(x,y)可微,L1与L2是R2上的一组线性无关向量,试证明;若f?i?x,y??0(i=1,2)则f(x,y)≡常数.

15.通过对F(x,y)=sin x cos y施用中值定理,证明对某?? (0,1),有

3??????????cos?sinsin=cos.

433663616.证明:函数

u=

12a?te??x?b?24a2t(a,b为常数)

2?u2?u满足热传导方程:=a 2?t?x17.证明:函数u=ln?x?a?2??y?b?2?2u?2u(a,b为常数)满足拉普拉斯方程:2+2=0.

?x?y18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程:

?2u?2uxy+=0.则函数V=f(,)也满足此方程. 222222?xx?yx?y?y19.设函数u=??x???y??,证明:

?u?2u?u?2u??=. ?x?x?y?y?x220.设fx,fy和fyx在点(x0,y0) 的某领域内存在,fyx在点(x0,y0)连续,证明fxy(x0,y0)也存在,且fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0),

21.设fx,fy在点(x0,y0)的某邻域内存在且在点(x0,y0)可微,则有 fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0)

二、计算题

1.求下列函数的偏导数:

(1) Z=x2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=

1x?y22;

(4) Z=ln(x+y2); (5) Z=exy; (6) Z=arctg(7) Z=xyesin(xy); (8) u=

y; xyZx??; xyzyz(9) u=(xy)z; (10) u=x

2. 设f(x,y)=x+(y-1)arcsin3. 设

.

x; 求fx(x,1). y1?ysin,x2?y2?0?22x?yf(x,y)?? ?0,x2?y2?0?考察函数f在原点(0,0)的偏导数.

22 4. 证明函数Z=x?y在点(0,0)连续但偏导数不存在.

5. 考察函数

1?22xysin,x?y?0?22x?yf(x,y)??在点(0,0)处的可微性.

?0,x2?y2?0?6. 求下列函数在给定点的全微分; (1) Z=x4+y4-4x2y2在点(0,0),(1,1); (2) Z=

xx?y22在点(1,0),(0,1).

7. 求下列函数的全微分; (1) Z=ysin(x+y); (2) u=xeyx+e-z+y 8. 求曲面Z=arctg

y???在点?1,1,?处的切平面方程和法线方程. x?4?9. 求曲面3x2+y2-Z2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.

10. 在曲面Z=xy上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.

11. 计算近似值:

(1) 1.002×2.0032×3.0043; (2) sin29°×tg46°.

12. 设园台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm高h=40cm. 若R,r,h分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值.

13. 设二元函数f在区域D=[a,b]×[c,d]上连续 (1) 若在intD内有fx≡0,试问f在D上有何特性? (2) 若在intD内有fx=fy≡0,f又怎样?

(3) 在(1)的讨论中,关于f在D上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?

x2?y214. 求曲面Z=与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ轴的交角.

415. 测得一物体的体积v=4.45cm3,其绝对误差限为0.01cm3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018,求由公式d=

w算出的比重d的相对误差限和绝对误差限. vdZ; ?x16.求下列复合函数的偏导数或导数: (1) 设Z=arc tg(xy),y=ex,求

(2) 设Z=

x?yexy22x2?y2xy,求

?Z?Z,; ?x?y?Z; dtu?Z?Z(4) 设Z=x2lny,x=,y=3u-2v,求，；

v?u?v(3) 设Z=x2+xy+y2,x=t2,y=t,求(5) 设u=f(x+y,xy),求

?u?u,; ?x?y(6) 设u=f???xy??u?u?u,求,,. ,???x?Z?yyZ??17.求函数u=xy2+z3-xyz在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,°45°,60°)的方向导数.

18.求函数u=xyz在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB上的方向导数. 19.求函数u=x2+2y2+3z2+xy-4x+2y-4z在点A(0,0,0)及点B(5,-3,

z)处的梯度以及它们的模. 320.设函数u=ln??,其中r=点上成立等式gradu=1.

?1??r??x?a?2??y?0?2??z?c?2 求u的梯度;并指出在空间哪些

z2x2y221设函数u=2?2?2,求它在点(a,b,c)的梯度.

cab22222.设r=r?y?z,试求:

(1)grad r; (2)grad

1. r23.设u=x3+y3+z3－3xyz,试问在怎样的点集上grad u分加满足:(1)垂直于Z轴,(2)平行于Z轴(3)恒为零向量.

24.设f(x,y)可微,L是R2上的一个确定向量,倘若处处有fL(x,y)?0,试问此函数f有何特征? 25.求下列函数的高阶偏导数:

(1) Z=x4+y4－4x2y2,所有二阶偏导数; (2) Z=ex(cos y+x sin y),所有二阶偏导数;

?3z?3z(3) Z=xln(xy),,; 22?x?y?x?y(4) u=xyze

x+y+z

?p?q?zu,; pqr?x?y?z(5) Z=f(xy2,x2y),所有二阶偏导数; (6) u=f(x2+y2+x2),所有二阶偏导数； (7)Z=f(x+y,xy,

x),zx, zxx, Zxy. y26.求下列函数在指定点处的泰勒公式: (1) f(x,y)=sin(x2+y2)在点(0,0)(到二阶为止); (2) f(x,y)=

x在点(1,1)(到三阶为止); y(3) f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);

(4) f(x,y)=2x2―xy―y2―6x―36+5在点(1,－2). 27.求下列函数的极值点: (1) Z=3axy―x3―y3 (a>0); (2) Z=x2+5y2―6x+10y+6; (3) Z=e2x(x+y2+2y).

28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值.

(1) Z=x2?y2,?x,y?x2+y2?4； (2) Z=x2?xy?y2,?x,y?x?y?1;

(3) Z=sinx+sing－sin(x+y),?x,y??x,y?x?0,x?y?2? 29.在已知周长为2P的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.

30.在xy平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y－16=0的距离平方和最小. 31.已知平面上n个点的坐标分别是

??????A1?x1,y1?,A2?x2,y2?,…An?xn,yn?.

试求一点,使它与这n个点距离的平方和最小.

1 1 1 y z32.设 u= x x2 y2 z2求(1)ux+uy+uz; (2)xux+yux+zuz; (3)uxx+uyy+uzz.

33.设f(x,y,z)=Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、

三、考研复习题

1. 设f(x,y,z)=x2y+y2z+z2x,证明 fx+fy+fz=(x+y+z)2.

2. 求函数

?x3?y32,x?y2?0?22f(x,y)??x?y在原点的偏导数fx(0,0)与fy(0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微

?0,x2?y2?0?性.

1 1 ? 1x1 x2 ? xn23. 设 u?x1 x2? x22 n

????n?1?1?1x1 xn? nx2 n?u证明: (1)??0; (2)

k?1?xknn?xkk?1n?un(n?1)?u. ?xk24. 设函数f(x,y)具有连续的n阶偏导数:试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n阶导数

dng(t)???????h?kf(a?ht,b?kt). n??dt?y???x?2? ?x f ? y求2. 5. 设 ?(x,y,z)?d?z e?xg?y h ? z k ?xa?x b ? y c ? z?3Φ g2(y) g3(y)求6. 设 Φ(x,y,z)?g1(y).

?x?y?zh1(z) h2(z) h3(z)7. 设函数u=f(x,y)在R2上有uxy=0,试求u关于x,y的函数式.

8. 设f在点p0(x0,y0)可微,且在p0给定了n个向量Li(i=1,2,…n).相邻两个向量之间的夹角为

f1(x) f2(x) f3(x)2π，证明 n?fi?1nLi(p0)?0.

9. 设f(x,y)为n次齐次函数,证明

??????x?yf?n(n?1)?(n?m?1)f. ??x??y??10. 对于函数f(x,y)=sin

my,试证 x??????x?y??x?f=0. ?y??m