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2.2.3 独立重复试验与二项分布
学习目标：1.理解n次独立重复试验的模型.2.理解二项分布．(难点)3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．(重点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．n次独立重复试验
一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 思考：怎样正确理解独立重复试验？ [提示] (1)独立重复试验满足的条件： 第一：每次试验是在同样条件下进行的； 第二：各次试验中的事件是相互独立的；
第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
(2)独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广泛．
2．二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cnp(1－p)
kkn－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二
项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
思考：二项分布与两点分布有什么关系？
[提示] (1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A发生(X＝1)或不发生(X＝0)；二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发生的次数X的分布列，试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生)，试验结果有n＋1种：事件
A恰好发生0次，1次，2次，…，n次．
(2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)独立重复试验每次试验之间是相互独立的． (2)独立重复试验每次试验只有发生与不发生两种结果． (3)独立重复试验各次试验发生的事件是互斥的．
( ) ( ) ( )
[解析] (1)√ 在独立重复试验中，试验是“在相同的条件下”进行的，各次试验的结果不会受其他试验结果的影响，彼此相互独立．
(2)√ 独立重复试验的结果只有两种，即事件要么发生，要么不发生．
(3)× 独立重复试验中，各次试验中的事件相互独立，故说试验事件互斥是错误的．
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[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( )
【导学号：95032166】
3
A. 41C. 3
3B. 81D. 4
12?1?B [抛一枚硬币，正面朝上的概率为，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为P＝C3??2?2?2
13
×＝.] 28
?1?3．已知随机变量X服从二项分布，X～B?6，?，则P(X＝2)等于_____． ?3?
2
802?1? [P(X＝2)＝C6??243?3?
4
?1－1?＝80.] ?3?243??
【导学号：95032167】
4．姚明在比赛时罚球命中率为90%，则他在3次罚球中罚失1次的概率是________.
0.243 [设随机变量X表示“3次罚球，中的次数”，则X～B(3,0.9)，所以他在3次罚球中罚失1次的概率为P(X＝2)＝C30.9×(1－0.9)＝0.243.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
2
2
独立重复试验概率的求法 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率．
12
[解] 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.
33设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)．
ii?1??2?则P(Ai)＝C4????
?3??3?
4－i.
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率
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22
8
P(A2)＝C2. 4????＝?3??3?27
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝
?1??2?
A3∪A4.由于A3与A4互斥，故
3
4
23
4
P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C34??×＋C4??＝.
33
?1????1???
19
1
所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为. 9[规律方法] 独立重复试验概率求法的三个步骤 1．判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验． 2．分拆：判断所求事件是否需要分拆． 3．计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算． [跟踪训练] 1．某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)： (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率．
[解] (1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8. 5次预报相当于5次独立重复试验，恰有2次准确的概率为 C50.8×0.2＝0.051 2≈0.05.
因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为C5(0.2)＋C5×0.8×0.2＝0.006 72≈0.01.
故所求概率为1－0.01＝0.99.
0
5
1
4
2
2
3
二项分布 某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人13
员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独210立．
(1)求某应聘人员被录用的概率．
(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列.
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【导学号：95032168】
[思路探究] 解答本题可根据二项分布的概率计算方法解答，同时注意互斥事件概率公式的应用．
[解] 设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C.
(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A∪BC， 111因为P(A)＝×＝，
224
P(B)＝2××?1－?＝，
2
1?2?
1??
12
P(C)＝，
2
所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝. 5
310
?2?(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，且X～B?4，?， ?5?
Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0,1,2,3,4)，
4
81?3?0
因为P(A0)＝C4×??＝，
?5?625
32?3?5??2
216， 625216
P(A1)＝C14××??＝5
2
P(A2)＝C2， 4×??×??＝
?5??5?625
3
?2??3?P(A3)＝C34×??×＝5
4
?2????2?3596， 625
16
0
P(A4)＝C4. 4×??×??＝
?5??5?625
所以X的分布列为
?3?X P [规律方法] 0 81 6251 216 6252 216 6253 96 6254 16 6251．本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成小初高K12教育学习资料