6.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是对角线BD上一动点，将纸片折叠，使点C与点P重合，折痕为EF，折痕EF的两端分别在BC、

DC边上(含端点)，当△PDF为直角三角形时，FC的长为________．

第6题图

248

在矩形ABCD中，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，在Rt△BCD7或 3 【解析】

中，由勾股定理得BD＝10.由折叠得PE＝EC，PF＝CF，∠EPF＝∠FCE＝90°.∵∠PDF＜90°，∴△PDF为直角三角形有以下两种情况：(Ⅰ)如解图1，当∠PFD＝90°时，∵∠FCE＝∠FPE＝∠PFC＝90°，∴四边形PECF是矩形．∵PF＝FC，∴四边形PECF是正方形，∴PF∥BC，∴△DPF∽PFDFx6－x

△DBC，∴BC＝DC .设FC＝PF＝x，则DF＝6－x，∴8＝6，解得：x2424

＝7，即FC＝7；(Ⅱ)如解图2，当∠DPF＝90°时，∵∠FPE＝∠FCB＝90°，∴此时点E与点B重合，∴BP＝BC＝8，∴PD＝10－8＝2.∵∠PDFPFPDPF2公用，∠DPF＝∠DCB＝90°，∴△DPF∽△DCB，∴BC＝DC，即：8＝6， 88248解得：PF＝3，∴FC＝3.综上所述，FC的长为7或3.

第6题解图

7.如图，正方形的边长为4，E是BC的中点，点P是射线AD上一动点，过P作PF⊥AE于F.若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似，则PA＝________．

第7题图

2或5 【解析】分两种情况：如解图①，当△EFP∽△ABE时，则有∠PEF＝∠EAB，∴PE∥AB，∴四边形ABEP为矩形，∴PA＝EB＝2；如解图②，当△PFE∽△ABE时，则有∠PEF＝∠AEB，又∵∠PAF＝∠AEB，∴∠PEF＝∠PAF，∴PE＝PA，∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点，∵AE＝42＋22＝PEEFPE525，AE＝EB，即＝，得PE＝5，∴PA＝5，∴当PA＝2或PA＝5

252时，以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似．

第7题解图

8.如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，点P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段BP的长度等于____________．

第8题图

565

2或3或5 【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD的中点，∴∠BAD＝90°，AE＝DE＝1，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE＝2AB＝2.若△BEP为等腰三角形，则分三种情况：①当BP＝BE时，显然BP＝2；②当PB＝PE时，如解图①，连接AP.∵PB＝PE，AB＝AE，∴AP垂直平分BE，∵△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAP＝∠EAP＝45°，11作PM⊥AB于点M，设PM＝x，∵S△ABD＝S△ABP＋S△APD，∴2×1×2＝2×1122×x＋2×2×x，解得x＝3，∴PM＝3，

23PM5

∴BP＝＝＝3；③当EB＝EP时，如解图②，过点A作AF⊥BD

sin∠ABD2

52

于点F，过点E作EG⊥BD于点G，在Rt△ABF中，AF＝AB·sin∠ABF＝1×

52515

＝5，∵AE＝ED，EG∥AF，∴EG＝2AF＝5，在Rt△BEG中，∵BE＝535222，EG＝5，∴BG＝BE－EG＝5，∵EB＝EP，EG⊥BP，∴BP＝655652BG＝5.综上所述，线段BP的长度等于2或3或5.

第8题解图① 第8题解图②

9.如图，在?ABCD中，∠B＝30°，AB＝AC，O是两条对角线的交点，过点

O作AC的垂线分别交边AD、BC于点E、F；点M是边AB的一个三等分点．则△AOE与△BMF的面积比为__________．

第9题图

3∶4或3∶8 【解析】如解图，连接AF、MF，∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠ACB＝∠B ＝30°， ∵点O是对角线的交点，EF⊥AC，∴AF＝FC，∴∠ACB＝∠FAC ＝30°，∴∠FAB＝90°，∴BF＝2AF＝2FC，∵点M为1

AB的三等分点，如解图①，当BM＝3AB时，设S△BMF＝a，则S△AMF＝2a，3a3a3a

S△ABF＝3a，∴S△AFC＝2，∴S△AOE＝4，∴S△AOE∶S△BMF＝4∶a＝3∶4.则2

△AOE与△BMF的面积比为3∶4；如解图②，当BM＝3AB时，S△AOE∶S3a△BMF＝4∶2a＝3∶8.综上所述：△AOE与△BMF的面积比为3∶4或3∶8.

第9题解图① 第9题解图②

10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA′，若△EPA′与△ABC的另一个交点为F，当EF1

＝4AB时，则BP的长为________．